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Resolución de integrales/ exp(-0,00003*x)*(1+exp(-0,00003*x))/x

Integral de exp(-0,00003*x)*(1+exp(-0,00003*x))/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                               
  /                               
 |                                
 |   -3.0e-5*x /     -3.0e-5*x\   
 |  e         *\1 + e         /   
 |  --------------------------- dx
 |               x                
 |                                
/                                 
0
∫01(1+e−3.0⋅10−5x)e−3.0⋅10−5xx dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(1 + e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} x}\right) e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} x}}{x}\, dx 
Integral((exp(-3.0e-5*x)*(1 + exp(-3.0e-5*x)))/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−(e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu) du\int \left(- \frac{\left(e^{\frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u}} + 1\right) e^{- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u}}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu du=−∫(e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu du\int \frac{\left(e^{\frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u}} + 1\right) e^{- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u}}}{u}\, du = - \int \frac{\left(e^{\frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u}} + 1\right) e^{- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u}}}{u}\, du

        1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

          Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−(e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu) du\int \left(- \frac{\left(e^{3.0 \cdot 10^{-5} u} + 1\right) e^{- 6.0 \cdot 10^{-5} u}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu du=−∫(e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu du\int \frac{\left(e^{3.0 \cdot 10^{-5} u} + 1\right) e^{- 6.0 \cdot 10^{-5} u}}{u}\, du = - \int \frac{\left(e^{3.0 \cdot 10^{-5} u} + 1\right) e^{- 6.0 \cdot 10^{-5} u}}{u}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu=e−6.0⋅10−5uu+e−3.0⋅10−5uu\frac{\left(e^{3.0 \cdot 10^{-5} u} + 1\right) e^{- 6.0 \cdot 10^{-5} u}}{u} = \frac{e^{- 6.0 \cdot 10^{-5} u}}{u} + \frac{e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} u}}{u}

            2. Integramos término a término:

                EiRule(a=-6.00000000000000e-5, b=0, context=exp(-6.0e-5*_u)/_u, symbol=_u)

                EiRule(a=-3.00000000000000e-5, b=0, context=exp(-3.0e-5*_u)/_u, symbol=_u)

              El resultado es: Ei⁡(−6.0⋅10−5u)+Ei⁡(−3.0⋅10−5u)\operatorname{Ei}{\left(- 6.0 \cdot 10^{-5} u \right)} + \operatorname{Ei}{\left(- 3.0 \cdot 10^{-5} u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −Ei⁡(−6.0⋅10−5u)−Ei⁡(−3.0⋅10−5u)- \operatorname{Ei}{\left(- 6.0 \cdot 10^{-5} u \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- 3.0 \cdot 10^{-5} u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −Ei⁡(−6.0⋅10−5u)−Ei⁡(−3.0⋅10−5u)- \operatorname{Ei}{\left(- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- \frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: Ei⁡(−6.0⋅10−5u)+Ei⁡(−3.0⋅10−5u)\operatorname{Ei}{\left(- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u} \right)} + \operatorname{Ei}{\left(- \frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      Ei⁡(−6.0⋅10−5x)+Ei⁡(−3.0⋅10−5x)\operatorname{Ei}{\left(- 6.0 \cdot 10^{-5} x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(- 3.0 \cdot 10^{-5} x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1+e−3.0⋅10−5x)e−3.0⋅10−5xx=(e3.0⋅10−5x+1)e−6.0⋅10−5xx\frac{\left(1 + e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} x}\right) e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} x}}{x} = \frac{\left(e^{3.0 \cdot 10^{-5} x} + 1\right) e^{- 6.0 \cdot 10^{-5} x}}{x}

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−(e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu) du\int \left(- \frac{\left(e^{\frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u}} + 1\right) e^{- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u}}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu du=−∫(e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu du\int \frac{\left(e^{\frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u}} + 1\right) e^{- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u}}}{u}\, du = - \int \frac{\left(e^{\frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u}} + 1\right) e^{- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u}}}{u}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (e3.0⋅10−5u+1)e−6.0⋅10−5uu=e−6.0⋅10−5uu+e−3.0⋅10−5uu\frac{\left(e^{\frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u}} + 1\right) e^{- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u}}}{u} = \frac{e^{- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u}}}{u} + \frac{e^{- \frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u}}}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

            Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

            ∫(−e−6.0⋅10−5uu) du\int \left(- \frac{e^{- 6.0 \cdot 10^{-5} u}}{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫e−6.0⋅10−5uu du=−∫e−6.0⋅10−5uu du\int \frac{e^{- 6.0 \cdot 10^{-5} u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{- 6.0 \cdot 10^{-5} u}}{u}\, du

                EiRule(a=-6.00000000000000e-5, b=0, context=exp(-6.0e-5*_u)/_u, symbol=_u)

              Por lo tanto, el resultado es: −Ei⁡(−6.0⋅10−5u)- \operatorname{Ei}{\left(- 6.0 \cdot 10^{-5} u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −Ei⁡(−6.0⋅10−5u)- \operatorname{Ei}{\left(- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u} \right)}

          1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

            Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

            ∫(−e−3.0⋅10−5uu) du\int \left(- \frac{e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} u}}{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫e−3.0⋅10−5uu du=−∫e−3.0⋅10−5uu du\int \frac{e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} u}}{u}\, du

                EiRule(a=-3.00000000000000e-5, b=0, context=exp(-3.0e-5*_u)/_u, symbol=_u)

              Por lo tanto, el resultado es: −Ei⁡(−3.0⋅10−5u)- \operatorname{Ei}{\left(- 3.0 \cdot 10^{-5} u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −Ei⁡(−3.0⋅10−5u)- \operatorname{Ei}{\left(- \frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u} \right)}

          El resultado es: −Ei⁡(−6.0⋅10−5u)−Ei⁡(−3.0⋅10−5u)- \operatorname{Ei}{\left(- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- \frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: Ei⁡(−6.0⋅10−5u)+Ei⁡(−3.0⋅10−5u)\operatorname{Ei}{\left(- \frac{6.0 \cdot 10^{-5}}{u} \right)} + \operatorname{Ei}{\left(- \frac{3.0 \cdot 10^{-5}}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      Ei⁡(−6.0⋅10−5x)+Ei⁡(−3.0⋅10−5x)\operatorname{Ei}{\left(- 6.0 \cdot 10^{-5} x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(- 3.0 \cdot 10^{-5} x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1+e−3.0⋅10−5x)e−3.0⋅10−5xx=e−6.0⋅10−5xx+e−3.0⋅10−5xx\frac{\left(1 + e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} x}\right) e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} x}}{x} = \frac{e^{- 6.0 \cdot 10^{-5} x}}{x} + \frac{e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} x}}{x}

    2. Integramos término a término:

        EiRule(a=-6.00000000000000e-5, b=0, context=exp(-6.0e-5*x)/x, symbol=x)

        EiRule(a=-3.00000000000000e-5, b=0, context=exp(-3.0e-5*x)/x, symbol=x)

      El resultado es: Ei⁡(−6.0⋅10−5x)+Ei⁡(−3.0⋅10−5x)\operatorname{Ei}{\left(- 6.0 \cdot 10^{-5} x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(- 3.0 \cdot 10^{-5} x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    Ei⁡(−6.0⋅10−5x)+Ei⁡(−3.0⋅10−5x)+constant\operatorname{Ei}{\left(- 6.0 \cdot 10^{-5} x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(- 3.0 \cdot 10^{-5} x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

Ei⁡(−6.0⋅10−5x)+Ei⁡(−3.0⋅10−5x)+constant\operatorname{Ei}{\left(- 6.0 \cdot 10^{-5} x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(- 3.0 \cdot 10^{-5} x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                                                   
 |  -3.0e-5*x /     -3.0e-5*x\                                       
 | e         *\1 + e         /                                       
 | --------------------------- dx = C + Ei(-3.0e-5*x) + Ei(-6.0e-5*x)
 |              x                                                    
 |                                                                   
/
∫(1+e−3.0⋅10−5x)e−3.0⋅10−5xx dx=C+Ei⁡(−6.0⋅10−5x)+Ei⁡(−3.0⋅10−5x)\int \frac{\left(1 + e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} x}\right) e^{- 3.0 \cdot 10^{-5} x}}{x}\, dx = C + \operatorname{Ei}{\left(- 6.0 \cdot 10^{-5} x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(- 3.0 \cdot 10^{-5} x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2000020000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
88.1808022691108
88.1808022691108

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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