Integral de 3^(2*x)-sin(3*x) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{3^{u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3^{u}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{2}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3^{u}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sin{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

   El resultado es: $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3^{2 x + 1} + \log{\left(9 \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{6 \log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3^{2 x + 1} + \log{\left(9 \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{6 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3^{2 x + 1} + \log{\left(9 \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{6 \log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$