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Resolución de integrales/ (2x)^3/ (x+1)/ ∫(x^4-(2x)^3+x-2)/(x+1)

Integral de ∫(x^4-(2x)^3+x-2)/(x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |   4        3           
 |  x  - (2*x)  + x - 2   
 |  ------------------- dx
 |         x + 1          
 |                        
/                         
0
∫01(x+(x4−(2x)3))−2x+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(x + \left(x^{4} - \left(2 x\right)^{3}\right)\right) - 2}{x + 1}\, dx 
Integral((x^4 - (2*x)^3 + x - 2)/(x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+(x4−(2x)3))−2x+1=x3−9x2+9x−8+6x+1\frac{\left(x + \left(x^{4} - \left(2 x\right)^{3}\right)\right) - 2}{x + 1} = x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 8 + \frac{6}{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−9x2) dx=−9∫x2 dx\int \left(- 9 x^{2}\right)\, dx = - 9 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −3x3- 3 x^{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9x dx=9∫x dx\int 9 x\, dx = 9 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 9x22\frac{9 x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−8) dx=−8x\int \left(-8\right)\, dx = - 8 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6x+1 dx=6∫1x+1 dx\int \frac{6}{x + 1}\, dx = 6 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6log⁡(x+1)6 \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: x44−3x3+9x22−8x+6log⁡(x+1)\frac{x^{4}}{4} - 3 x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} - 8 x + 6 \log{\left(x + 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+(x4−(2x)3))−2x+1=x4x+1−8x3x+1+xx+1−2x+1\frac{\left(x + \left(x^{4} - \left(2 x\right)^{3}\right)\right) - 2}{x + 1} = \frac{x^{4}}{x + 1} - \frac{8 x^{3}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{2}{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x4x+1=x3−x2+x−1+1x+1\frac{x^{4}}{x + 1} = x^{3} - x^{2} + x - 1 + \frac{1}{x + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x2) dx=−∫x2 dx\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −x33- \frac{x^{3}}{3}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: x44−x33+x22−x+log⁡(x+1)\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−8x3x+1) dx=−8∫x3x+1 dx\int \left(- \frac{8 x^{3}}{x + 1}\right)\, dx = - 8 \int \frac{x^{3}}{x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x3x+1=x2−x+1−1x+1\frac{x^{3}}{x + 1} = x^{2} - x + 1 - \frac{1}{x + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

            1. que u=x+1u = x + 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

          El resultado es: x33−x22+x−log⁡(x+1)\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −8x33+4x2−8x+8log⁡(x+1)- \frac{8 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 8 x + 8 \log{\left(x + 1 \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        xx+1=1−1x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

        El resultado es: x−log⁡(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x+1) dx=−2∫1x+1 dx\int \left(- \frac{2}{x + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x+1)- 2 \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: x44−3x3+9x22−8x−2log⁡(x+1)+8log⁡(x+1)\frac{x^{4}}{4} - 3 x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} - 8 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 8 \log{\left(x + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x44−3x3+9x22−8x+6log⁡(x+1)+constant\frac{x^{4}}{4} - 3 x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} - 8 x + 6 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x44−3x3+9x22−8x+6log⁡(x+1)+constant\frac{x^{4}}{4} - 3 x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} - 8 x + 6 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                                                   
 |  4        3                                               4      2
 | x  - (2*x)  + x - 2                   3                  x    9*x 
 | ------------------- dx = C - 8*x - 3*x  + 6*log(1 + x) + -- + ----
 |        x + 1                                             4     2  
 |                                                                   
/
∫(x+(x4−(2x)3))−2x+1 dx=C+x44−3x3+9x22−8x+6log⁡(x+1)\int \frac{\left(x + \left(x^{4} - \left(2 x\right)^{3}\right)\right) - 2}{x + 1}\, dx = C + \frac{x^{4}}{4} - 3 x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} - 8 x + 6 \log{\left(x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-25/4 + 6*log(2)
−254+6log⁡(2)- \frac{25}{4} + 6 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-25/4 + 6*log(2)
−254+6log⁡(2)- \frac{25}{4} + 6 \log{\left(2 \right)} 
-25/4 + 6*log(2)
Respuesta numérica [src] 
-2.09111691664033
-2.09111691664033

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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