Integral de x^2*ln((1-x)/(x+1)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} = x^{2} \log{\left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right)}$

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{3} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{3 \left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}\, dx}{3}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}} = 2 x + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         El resultado es: $x^{2} + \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{3} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right) \left(- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{1 - x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{3} \left(x + 1\right) \left(- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{3 \left(1 - x\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3} \left(x + 1\right) \left(- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right)}{1 - x}\, dx}{3}$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u^{3}}{u^{2} - 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{u^{2} - 1}\, du$

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{u}{2 u - 2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u}{2 u - 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}$

                     1. que $u = u - 1$.

                        Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u - 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

                  El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{u^{2}}{2} + \frac{\log{\left(u^{2} - 1 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} + \log{\left(u^{2} - 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x^{2} + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} = x^{2} \log{\left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right)}$

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{3} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{3 \left(- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}\, dx}{3}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3} \left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{- \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}} = 2 x + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         El resultado es: $x^{2} + \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{3} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \log{\left(- \frac{x - 1}{x + 1} \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{3} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \log{\left(- \frac{x - 1}{x + 1} \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{3} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \log{\left(- \frac{x - 1}{x + 1} \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{3} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$