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Resolución de integrales/ sin(4x)/ (sin(4x))^4

Integral de (sin(4x))^4 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  sin (4*x) dx
 |              
/               
0
∫01sin⁡4(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral(sin(4*x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡4(4x)=(12−cos⁡(8x)2)2\sin^{4}{\left(4 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)^{2}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(8x)2)2=cos⁡2(8x)4−cos⁡(8x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(8 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(8x)4 dx=∫cos⁡2(8x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(8 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(8 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(8x)=cos⁡(16x)2+12\cos^{2}{\left(8 x \right)} = \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(16x)2 dx=∫cos⁡(16x) dx2\int \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(16 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=16xu = 16 x.

              Luego que du=16dxdu = 16 dx y ponemos du16\frac{du}{16}:

              ∫cos⁡(u)16 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du16\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)16\frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(16x)16\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{16}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(16x)32\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(16x)32\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(16x)128\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(8x)2) dx=−∫cos⁡(8x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=8xu = 8 x.

          Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

          ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(8x)16- \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8−sin⁡(8x)16+sin⁡(16x)128\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(8x)2)2=cos⁡2(8x)4−cos⁡(8x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(8 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(8x)4 dx=∫cos⁡2(8x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(8 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(8 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(8x)=cos⁡(16x)2+12\cos^{2}{\left(8 x \right)} = \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(16x)2 dx=∫cos⁡(16x) dx2\int \frac{\cos{\left(16 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(16 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=16xu = 16 x.

              Luego que du=16dxdu = 16 dx y ponemos du16\frac{du}{16}:

              ∫cos⁡(u)16 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du16\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)16\frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(16x)16\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{16}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(16x)32\frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(16x)32\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(16x)128\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(8x)2) dx=−∫cos⁡(8x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=8xu = 8 x.

          Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

          ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(8x)16- \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8−sin⁡(8x)16+sin⁡(16x)128\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x8−sin⁡(8x)16+sin⁡(16x)128+constant\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x8−sin⁡(8x)16+sin⁡(16x)128+constant\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                              
 |    4               sin(8*x)   sin(16*x)   3*x
 | sin (4*x) dx = C - -------- + --------- + ---
 |                       16         128       8 
/
∫sin⁡4(4x) dx=C+3x8−sin⁡(8x)16+sin⁡(16x)128\int \sin^{4}{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(16 x \right)}}{128}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                         3          
3   3*cos(4)*sin(4)   sin (4)*cos(4)
- - --------------- - --------------
8          32               16
−3sin⁡(4)cos⁡(4)32−sin⁡3(4)cos⁡(4)16+38- \frac{3 \sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{32} - \frac{\sin^{3}{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{16} + \frac{3}{8} 
=
= 
                         3          
3   3*cos(4)*sin(4)   sin (4)*cos(4)
- - --------------- - --------------
8          32               16
−3sin⁡(4)cos⁡(4)32−sin⁡3(4)cos⁡(4)16+38- \frac{3 \sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{32} - \frac{\sin^{3}{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{16} + \frac{3}{8} 
3/8 - 3*cos(4)*sin(4)/32 - sin(4)^3*cos(4)/16
Respuesta numérica [src] 
0.310915864924593
0.310915864924593

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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