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Resolución de integrales/ sin2x/ sin4x/ 4xsin/ sin4xsin2x

Integral de sin4xsin2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
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 |                      
 |  sin(4*x)*sin(2*x) dx
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0
∫01sin⁡(2x)sin⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral(sin(4*x)*sin(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫sin⁡(u)sin⁡(2u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)} \sin{\left(2 u \right)}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(2u)sin⁡(u) du=∫sin⁡(2u)sin⁡(u) du2\int \sin{\left(2 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(2 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡2(u)cos⁡(u) du=2∫sin⁡2(u)cos⁡(u) du\int 2 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

          1. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(u)3\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡3(u)3\frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(u)3\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡3(2x)3\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}

    Método #2

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)sin⁡(4x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)sin⁡(4x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡(x)sin⁡(4x)cos⁡(x)=−8sin⁡4(x)cos⁡2(x)+4sin⁡2(x)cos⁡2(x)\sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)} = - 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−8sin⁡4(x)cos⁡2(x)) dx=−8∫sin⁡4(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡4(x)cos⁡2(x)=(12−cos⁡(2x)2)2(cos⁡(2x)2+12)\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

          2. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

            ∫(cos⁡3(u)16−cos⁡2(u)16−cos⁡(u)16+116) du\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡3(u)16 du=∫cos⁡3(u) du16\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡3(u)=(1−sin⁡2(u))cos⁡(u)\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}

                2. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

                  Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

                  ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

                  1. Integramos término a término:

                    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                      ∫1 du=u\int 1\, du = u

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                        ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                      Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

                    El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  −sin⁡3(u)3+sin⁡(u)- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(u)48+sin⁡(u)16- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−cos⁡2(u)16) du=−∫cos⁡2(u) du16\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                    1. que u=2uu = 2 u.

                      Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                      ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                  El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u32−sin⁡(2u)64- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−cos⁡(u)16) du=−∫cos⁡(u) du16\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)16- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫116 du=u16\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}

              El resultado es: u32−sin⁡(2u)64−sin⁡3(u)48\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x16−sin⁡3(2x)48−sin⁡(4x)64\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2+sin⁡3(2x)6+sin⁡(4x)8- \frac{x}{2} + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx=4∫sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡2(x)cos⁡2(x)=(12−cos⁡(2x)2)(cos⁡(2x)2+12)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

          2. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

            ∫(18−cos⁡2(u)8) du\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫18 du=u8\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−cos⁡2(u)8) du=−∫cos⁡2(u) du8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                    1. que u=2uu = 2 u.

                      Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                      ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                        1. La integral del coseno es seno:

                          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                      Si ahora sustituir uu más en:

                      sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                  El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u16−sin⁡(2u)32- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

              El resultado es: u16−sin⁡(2u)32\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x8−sin⁡(4x)32\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

          Por lo tanto, el resultado es: x2−sin⁡(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        El resultado es: sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(2x)3\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)sin⁡(4x)=−16sin⁡4(x)cos⁡2(x)+8sin⁡2(x)cos⁡2(x)\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(4 x \right)} = - 16 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−16sin⁡4(x)cos⁡2(x)) dx=−16∫sin⁡4(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 16 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 16 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡4(x)cos⁡2(x)=(12−cos⁡(2x)2)2(cos⁡(2x)2+12)\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

        2. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

          ∫(cos⁡3(u)16−cos⁡2(u)16−cos⁡(u)16+116) du\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡3(u)16 du=∫cos⁡3(u) du16\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                cos⁡3(u)=(1−sin⁡2(u))cos⁡(u)\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}

              2. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

                Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

                ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

                1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫1 du=u\int 1\, du = u

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                    Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

                  El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

                Si ahora sustituir uu más en:

                −sin⁡3(u)3+sin⁡(u)- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(u)48+sin⁡(u)16- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡2(u)16) du=−∫cos⁡2(u) du16\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                  1. que u=2uu = 2 u.

                    Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −u32−sin⁡(2u)64- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡(u)16) du=−∫cos⁡(u) du16\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)16- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫116 du=u16\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}

            El resultado es: u32−sin⁡(2u)64−sin⁡3(u)48\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x16−sin⁡3(2x)48−sin⁡(4x)64\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}

        Por lo tanto, el resultado es: −x+sin⁡3(2x)3+sin⁡(4x)4- x + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx=8∫sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)cos⁡2(x)=(12−cos⁡(2x)2)(cos⁡(2x)2+12)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

        2. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

          ∫(18−cos⁡2(u)8) du\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫18 du=u8\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−cos⁡2(u)8) du=−∫cos⁡2(u) du8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

                  1. que u=2uu = 2 u.

                    Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                    ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                      1. La integral del coseno es seno:

                        ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

                El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −u16−sin⁡(2u)32- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

            El resultado es: u16−sin⁡(2u)32\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x8−sin⁡(4x)32\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

        Por lo tanto, el resultado es: x−sin⁡(4x)4x - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      El resultado es: sin⁡3(2x)3\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡3(2x)3+constant\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡3(2x)3+constant\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              3     
 |                            sin (2*x)
 | sin(4*x)*sin(2*x) dx = C + ---------
 |                                3    
/
∫sin⁡(2x)sin⁡(4x) dx=C+sin⁡3(2x)3\int \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  cos(4)*sin(2)   cos(2)*sin(4)
- ------------- + -------------
        3               6
sin⁡(4)cos⁡(2)6−sin⁡(2)cos⁡(4)3\frac{\sin{\left(4 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{6} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{3} 
=
= 
  cos(4)*sin(2)   cos(2)*sin(4)
- ------------- + -------------
        3               6
sin⁡(4)cos⁡(2)6−sin⁡(2)cos⁡(4)3\frac{\sin{\left(4 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{6} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{3} 
-cos(4)*sin(2)/3 + cos(2)*sin(4)/6
Respuesta numérica [src] 
0.250608981556331
0.250608981556331

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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