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Resolución de integrales/ sin(3x)/ (7x+6)sin(3x)

Integral de (7x+6)sin(3x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  (7*x + 6)*sin(3*x) dx
 |                       
/                        
0
∫01(7x+6)sin⁡(3x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(7 x + 6\right) \sin{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral((7*x + 6)*sin(3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (7x+6)sin⁡(3x)=7xsin⁡(3x)+6sin⁡(3x)\left(7 x + 6\right) \sin{\left(3 x \right)} = 7 x \sin{\left(3 x \right)} + 6 \sin{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7xsin⁡(3x) dx=7∫xsin⁡(3x) dx\int 7 x \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 7 \int x \sin{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(3x)3) dx=−∫cos⁡(3x) dx3\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(3x)9- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −7xcos⁡(3x)3+7sin⁡(3x)9- \frac{7 x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{7 \sin{\left(3 x \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡(3x) dx=6∫sin⁡(3x) dx\int 6 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(3x)- 2 \cos{\left(3 x \right)}

      El resultado es: −7xcos⁡(3x)3+7sin⁡(3x)9−2cos⁡(3x)- \frac{7 x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{7 \sin{\left(3 x \right)}}{9} - 2 \cos{\left(3 x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=7x+6u{\left(x \right)} = 7 x + 6 y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=7\operatorname{du}{\left(x \right)} = 7.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−7cos⁡(3x)3) dx=−7∫cos⁡(3x) dx3\int \left(- \frac{7 \cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{7 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −7sin⁡(3x)9- \frac{7 \sin{\left(3 x \right)}}{9}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (7x+6)sin⁡(3x)=7xsin⁡(3x)+6sin⁡(3x)\left(7 x + 6\right) \sin{\left(3 x \right)} = 7 x \sin{\left(3 x \right)} + 6 \sin{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7xsin⁡(3x) dx=7∫xsin⁡(3x) dx\int 7 x \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 7 \int x \sin{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(3x)3) dx=−∫cos⁡(3x) dx3\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(3x)9- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −7xcos⁡(3x)3+7sin⁡(3x)9- \frac{7 x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{7 \sin{\left(3 x \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡(3x) dx=6∫sin⁡(3x) dx\int 6 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(3x)- 2 \cos{\left(3 x \right)}

      El resultado es: −7xcos⁡(3x)3+7sin⁡(3x)9−2cos⁡(3x)- \frac{7 x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{7 \sin{\left(3 x \right)}}{9} - 2 \cos{\left(3 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −7xcos⁡(3x)3+7sin⁡(3x)9−2cos⁡(3x)+constant- \frac{7 x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{7 \sin{\left(3 x \right)}}{9} - 2 \cos{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−7xcos⁡(3x)3+7sin⁡(3x)9−2cos⁡(3x)+constant- \frac{7 x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{7 \sin{\left(3 x \right)}}{9} - 2 \cos{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                          7*sin(3*x)   7*x*cos(3*x)
 | (7*x + 6)*sin(3*x) dx = C - 2*cos(3*x) + ---------- - ------------
 |                                              9             3      
/
∫(7x+6)sin⁡(3x) dx=C−7xcos⁡(3x)3+7sin⁡(3x)9−2cos⁡(3x)\int \left(7 x + 6\right) \sin{\left(3 x \right)}\, dx = C - \frac{7 x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{7 \sin{\left(3 x \right)}}{9} - 2 \cos{\left(3 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9020-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    13*cos(3)   7*sin(3)
2 - --------- + --------
        3          9
7sin⁡(3)9+2−13cos⁡(3)3\frac{7 \sin{\left(3 \right)}}{9} + 2 - \frac{13 \cos{\left(3 \right)}}{3} 
=
= 
    13*cos(3)   7*sin(3)
2 - --------- + --------
        3          9
7sin⁡(3)9+2−13cos⁡(3)3\frac{7 \sin{\left(3 \right)}}{9} + 2 - \frac{13 \cos{\left(3 \right)}}{3} 
2 - 13*cos(3)/3 + 7*sin(3)/9
Respuesta numérica [src] 
6.39972749153738
6.39972749153738

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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