Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de e^-y
Integral de d(x)
Integral de a/x
Integral de 3*exp(-3*x)
Expresiones idénticas
sin(x/ dos)^ tres
seno de (x dividir por 2) al cubo
seno de (x dividir por dos) en el grado tres
sin(x/2)3
sinx/23
sin(x/2)³
sin(x/2) en el grado 3
sinx/2^3
sin(x dividir por 2)^3
sin(x/2)^3dx
Expresiones con funciones
Seno sin
sin(x)/(sqrt(1-x^2))
sin(x)/(sin(x+a))
sin(x)sin(x)cos(x)^n
sin(x+(pi/6))+3/2
sin(x-pi/6)^2

Resolución de integrales/ sin(x/2)/ sin(x/2)^3

Integral de sin(x/2)^3 dx

Solución

Ha introducido [src]

 2*pi          
   /           
  |            
  |     3/x\   
  |  sin |-| dx
  |      \2/   
  |            
 /             
 0

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$

Integral(sin(x/2)^3, (x, 0, 2*pi))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(2 u^{2} - 2\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$
    El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - 2 u$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{2 \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$ :
      
      $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{2 \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
  1. que $u = \frac{x}{2}$ .
    
    Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
    
    $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  El resultado es: $\frac{2 \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$ :
      
      $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{2 \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
  1. que $u = \frac{x}{2}$ .
    
    Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
    
    $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  El resultado es: $\frac{2 \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Ahora simplificar:

$- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{6}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                 3/x\
 |                             2*cos |-|
 |    3/x\               /x\         \2/
 | sin |-| dx = C - 2*cos|-| + ---------
 |     \2/               \2/       3    
 |                                      
/

$$\int \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{2 \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

8/3

$$\frac{8}{3}$$

8/3

$$\frac{8}{3}$$

8/3

Respuesta numérica [src]

2.66666666666667

2.66666666666667

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de sin(x/2)^3 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3