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Resolución de integrales/ (7x+4)*sin*(3x/8)

Integral de (7x+4)*sin*(3x/8) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |               /3*x\   
 |  (7*x + 4)*sin|---| dx
 |               \ 8 /   
 |                       
/                        
0
∫01(7x+4)sin⁡(3x8) dx\int\limits_{0}^{1} \left(7 x + 4\right) \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx 
Integral((7*x + 4)*sin((3*x)/8), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (7x+4)sin⁡(3x8)=7xsin⁡(3x8)+4sin⁡(3x8)\left(7 x + 4\right) \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)} = 7 x \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7xsin⁡(3x8) dx=7∫xsin⁡(3x8) dx\int 7 x \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx = 7 \int x \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(3x8)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3x8u = \frac{3 x}{8}.

            Luego que du=3dx8du = \frac{3 dx}{8} y ponemos 8du3\frac{8 du}{3}:

            ∫8sin⁡(u)3 du\int \frac{8 \sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=8∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{8 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −8cos⁡(u)3- \frac{8 \cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −8cos⁡(3x8)3- \frac{8 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−8cos⁡(3x8)3) dx=−8∫cos⁡(3x8) dx3\int \left(- \frac{8 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{8 \int \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3x8u = \frac{3 x}{8}.

            Luego que du=3dx8du = \frac{3 dx}{8} y ponemos 8du3\frac{8 du}{3}:

            ∫8cos⁡(u)3 du\int \frac{8 \cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=8∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{8 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 8sin⁡(u)3\frac{8 \sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            8sin⁡(3x8)3\frac{8 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −64sin⁡(3x8)9- \frac{64 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −56xcos⁡(3x8)3+448sin⁡(3x8)9- \frac{56 x \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3} + \frac{448 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡(3x8) dx=4∫sin⁡(3x8) dx\int 4 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx

        1. que u=3x8u = \frac{3 x}{8}.

          Luego que du=3dx8du = \frac{3 dx}{8} y ponemos 8du3\frac{8 du}{3}:

          ∫8sin⁡(u)3 du\int \frac{8 \sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=8∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{8 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −8cos⁡(u)3- \frac{8 \cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −8cos⁡(3x8)3- \frac{8 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −32cos⁡(3x8)3- \frac{32 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

      El resultado es: −56xcos⁡(3x8)3+448sin⁡(3x8)9−32cos⁡(3x8)3- \frac{56 x \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3} + \frac{448 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{9} - \frac{32 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=7x+4u{\left(x \right)} = 7 x + 4 y que dv⁡(x)=sin⁡(3x8)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=7\operatorname{du}{\left(x \right)} = 7.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3x8u = \frac{3 x}{8}.

        Luego que du=3dx8du = \frac{3 dx}{8} y ponemos 8du3\frac{8 du}{3}:

        ∫8sin⁡(u)3 du\int \frac{8 \sin{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=8∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{8 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −8cos⁡(u)3- \frac{8 \cos{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −8cos⁡(3x8)3- \frac{8 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−56cos⁡(3x8)3) dx=−56∫cos⁡(3x8) dx3\int \left(- \frac{56 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{56 \int \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx}{3}

      1. que u=3x8u = \frac{3 x}{8}.

        Luego que du=3dx8du = \frac{3 dx}{8} y ponemos 8du3\frac{8 du}{3}:

        ∫8cos⁡(u)3 du\int \frac{8 \cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=8∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{8 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 8sin⁡(u)3\frac{8 \sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        8sin⁡(3x8)3\frac{8 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −448sin⁡(3x8)9- \frac{448 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{9}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (7x+4)sin⁡(3x8)=7xsin⁡(3x8)+4sin⁡(3x8)\left(7 x + 4\right) \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)} = 7 x \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7xsin⁡(3x8) dx=7∫xsin⁡(3x8) dx\int 7 x \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx = 7 \int x \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(3x8)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3x8u = \frac{3 x}{8}.

            Luego que du=3dx8du = \frac{3 dx}{8} y ponemos 8du3\frac{8 du}{3}:

            ∫8sin⁡(u)3 du\int \frac{8 \sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=8∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{8 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −8cos⁡(u)3- \frac{8 \cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −8cos⁡(3x8)3- \frac{8 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−8cos⁡(3x8)3) dx=−8∫cos⁡(3x8) dx3\int \left(- \frac{8 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{8 \int \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3x8u = \frac{3 x}{8}.

            Luego que du=3dx8du = \frac{3 dx}{8} y ponemos 8du3\frac{8 du}{3}:

            ∫8cos⁡(u)3 du\int \frac{8 \cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=8∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{8 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 8sin⁡(u)3\frac{8 \sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            8sin⁡(3x8)3\frac{8 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −64sin⁡(3x8)9- \frac{64 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −56xcos⁡(3x8)3+448sin⁡(3x8)9- \frac{56 x \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3} + \frac{448 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡(3x8) dx=4∫sin⁡(3x8) dx\int 4 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx

        1. que u=3x8u = \frac{3 x}{8}.

          Luego que du=3dx8du = \frac{3 dx}{8} y ponemos 8du3\frac{8 du}{3}:

          ∫8sin⁡(u)3 du\int \frac{8 \sin{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=8∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{8 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −8cos⁡(u)3- \frac{8 \cos{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −8cos⁡(3x8)3- \frac{8 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −32cos⁡(3x8)3- \frac{32 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

      El resultado es: −56xcos⁡(3x8)3+448sin⁡(3x8)9−32cos⁡(3x8)3- \frac{56 x \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3} + \frac{448 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{9} - \frac{32 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −56xcos⁡(3x8)3+448sin⁡(3x8)9−32cos⁡(3x8)3+constant- \frac{56 x \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3} + \frac{448 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{9} - \frac{32 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−56xcos⁡(3x8)3+448sin⁡(3x8)9−32cos⁡(3x8)3+constant- \frac{56 x \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3} + \frac{448 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{9} - \frac{32 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  /3*x\          /3*x\           /3*x\
 |                             32*cos|---|   448*sin|---|   56*x*cos|---|
 |              /3*x\                \ 8 /          \ 8 /           \ 8 /
 | (7*x + 4)*sin|---| dx = C - ----------- + ------------ - -------------
 |              \ 8 /               3             9               3      
 |                                                                       
/
∫(7x+4)sin⁡(3x8) dx=C−56xcos⁡(3x8)3+448sin⁡(3x8)9−32cos⁡(3x8)3\int \left(7 x + 4\right) \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}\, dx = C - \frac{56 x \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3} + \frac{448 \sin{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{9} - \frac{32 \cos{\left(\frac{3 x}{8} \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
32   88*cos(3/8)   448*sin(3/8)
-- - ----------- + ------------
3         3             9
−88cos⁡(38)3+323+448sin⁡(38)9- \frac{88 \cos{\left(\frac{3}{8} \right)}}{3} + \frac{32}{3} + \frac{448 \sin{\left(\frac{3}{8} \right)}}{9} 
=
= 
32   88*cos(3/8)   448*sin(3/8)
-- - ----------- + ------------
3         3             9
−88cos⁡(38)3+323+448sin⁡(38)9- \frac{88 \cos{\left(\frac{3}{8} \right)}}{3} + \frac{32}{3} + \frac{448 \sin{\left(\frac{3}{8} \right)}}{9} 
32/3 - 88*cos(3/8)/3 + 448*sin(3/8)/9
Respuesta numérica [src] 
1.60400898285537
1.60400898285537

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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