Integral de (4-x^6)^8*3*x^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 - x^{6}$.

      Luego que $du = - 6 x^{5} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{8}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{8}\, du = - \frac{\int u^{8}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{18}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(4 - x^{6}\right)^{9}}{18}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{5} \cdot 3 \left(4 - x^{6}\right)^{8} = 3 x^{53} - 96 x^{47} + 1344 x^{41} - 10752 x^{35} + 53760 x^{29} - 172032 x^{23} + 344064 x^{17} - 393216 x^{11} + 196608 x^{5}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{53}\, dx = 3 \int x^{53}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{53}\, dx = \frac{x^{54}}{54}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{54}}{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 96 x^{47}\right)\, dx = - 96 \int x^{47}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{47}\, dx = \frac{x^{48}}{48}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{48}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1344 x^{41}\, dx = 1344 \int x^{41}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{41}\, dx = \frac{x^{42}}{42}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32 x^{42}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 10752 x^{35}\right)\, dx = - 10752 \int x^{35}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{35}\, dx = \frac{x^{36}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{896 x^{36}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 53760 x^{29}\, dx = 53760 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1792 x^{30}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 172032 x^{23}\right)\, dx = - 172032 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 7168 x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 344064 x^{17}\, dx = 344064 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{57344 x^{18}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 393216 x^{11}\right)\, dx = - 393216 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 32768 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 196608 x^{5}\, dx = 196608 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32768 x^{6}$

      El resultado es: $\frac{x^{54}}{18} - 2 x^{48} + 32 x^{42} - \frac{896 x^{36}}{3} + 1792 x^{30} - 7168 x^{24} + \frac{57344 x^{18}}{3} - 32768 x^{12} + 32768 x^{6}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{6} - 4\right)^{9}}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{6} - 4\right)^{9}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{6} - 4\right)^{9}}{18}+ \mathrm{constant}$