Sr Examen

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Integral de 1/(x^2-2*x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |       1         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  - 2*x + 5   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 5}\, dx$$
Integral(1/(x^2 - 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |      1         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 2*x + 5   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
     1                 1         
------------ = ------------------
 2               /         2    \
x  - 2*x + 5     |/  x   1\     |
               4*||- - + -|  + 1|
                 \\  2   2/     /
o
  /                 
 |                  
 |      1           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  - 2*x + 5     
 |                  
/                   
  
  /                 
 |                  
 |       1          
 | -------------- dx
 |          2       
 | /  x   1\        
 | |- - + -|  + 1   
 | \  2   2/        
 |                  
/                   
--------------------
         4          
En integral
  /                 
 |                  
 |       1          
 | -------------- dx
 |          2       
 | /  x   1\        
 | |- - + -|  + 1   
 | \  2   2/        
 |                  
/                   
--------------------
         4          
hacemos el cambio
    1   x
v = - - -
    2   2
entonces
integral =
  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     4            4   
hacemos cambio inverso
  /                                 
 |                                  
 |       1                          
 | -------------- dx                
 |          2                       
 | /  x   1\                        
 | |- - + -|  + 1                   
 | \  2   2/               /  1   x\
 |                     atan|- - + -|
/                          \  2   2/
-------------------- = -------------
         4                   2      
La solución:
        /  1   x\
    atan|- - + -|
        \  2   2/
C + -------------
          2      
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                          /  1   x\
 |                       atan|- - + -|
 |      1                    \  2   2/
 | ------------ dx = C + -------------
 |  2                          2      
 | x  - 2*x + 5                       
 |                                    
/                                     
$$\int \frac{1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta [src]
atan(1/2)
---------
    2    
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}$$
=
=
atan(1/2)
---------
    2    
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}$$
atan(1/2)/2
Respuesta numérica [src]
0.231823804500403
0.231823804500403

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.