Integral de (arccos(1/x))/(x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \operatorname{acos}{\left(u \right)}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du = - \int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

            1. que $u = 1 - u^{2}$.

               Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{1 - u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u \operatorname{acos}{\left(u \right)} + \sqrt{1 - u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{x^{3} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}\, dx$

      1. que $u = 1 - \frac{1}{x^{2}}$.

         Luego que $du = \frac{2 dx}{x^{3}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$