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Resolución de integrales/ sqrt(x)/ (x+1)/ arccos/ arccos(sqrt(x))/sqrt(x+1)

Integral de arccos(sqrt(x))/sqrt(x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |      /  ___\   
 |  acos\\/ x /   
 |  ----------- dx
 |     _______    
 |   \/ x + 1     
 |                
/                 
0
∫01acos⁡(x)x+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x + 1}}\, dx 
Integral(acos(sqrt(x))/sqrt(x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=xu = \sqrt{x}.

    Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 2du2 du:

    ∫2uacos⁡(u)u2+1 du\int \frac{2 u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫uacos⁡(u)u2+1 du=2∫uacos⁡(u)u2+1 du\int \frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du = 2 \int \frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=acos⁡(u)u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=uu2+1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 1}}.

        Entonces du⁡(u)=−11−u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=u2+1u = u^{2} + 1.

          Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: u\sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          u2+1\sqrt{u^{2} + 1}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−u2+11−u2) du=−∫u2+11−u2 du\int \left(- \frac{\sqrt{u^{2} + 1}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{\sqrt{u^{2} + 1}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

          TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sqrt(sin(_theta)**2 + 1), substep=EllipticERule(a=1, d=-1, context=sqrt(sin(_theta)**2 + 1), symbol=_theta), restriction=(_u > -1) & (_u < 1), context=sqrt(_u**2 + 1)/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

        Por lo tanto, el resultado es: −{E(asin⁡(u)|−1)for u>−1∧u<1- \begin{cases} E\left(\operatorname{asin}{\left(u \right)}\middle| -1\right) & \text{for}\: u > -1 \wedge u < 1 \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: 2u2+1acos⁡(u)+2({E(asin⁡(u)|−1)for u>−1∧u<1)2 \sqrt{u^{2} + 1} \operatorname{acos}{\left(u \right)} + 2 \left(\begin{cases} E\left(\operatorname{asin}{\left(u \right)}\middle| -1\right) & \text{for}\: u > -1 \wedge u < 1 \end{cases}\right)

    Si ahora sustituir uu más en:

    2x+1acos⁡(x)+2({E(asin⁡(x)|−1)for x≥0∧x<1)2 \sqrt{x + 1} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \left(\begin{cases} E\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\middle| -1\right) & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}\right)

  2. Ahora simplificar:

    {2(x+1acos⁡(x)+E(asin⁡(x)|−1))for x≥0∧x<1\begin{cases} 2 \left(\sqrt{x + 1} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)} + E\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\middle| -1\right)\right) & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {2(x+1acos⁡(x)+E(asin⁡(x)|−1))for x≥0∧x<1+constant\begin{cases} 2 \left(\sqrt{x + 1} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)} + E\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\middle| -1\right)\right) & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{2(x+1acos⁡(x)+E(asin⁡(x)|−1))for x≥0∧x<1+constant\begin{cases} 2 \left(\sqrt{x + 1} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)} + E\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\middle| -1\right)\right) & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                             
 |                                                                                              
 |     /  ___\                                                                                  
 | acos\\/ x /            // /    /  ___\|  \                        \       _______     /  ___\
 | ----------- dx = C + 2*|= 0, x < 1)| + 2*\/ 1 + x *acos\\/ x /
 |    _______             \\                                         /                          
 |  \/ x + 1                                                                                    
 |                                                                                              
/
∫acos⁡(x)x+1 dx=C+2x+1acos⁡(x)+2({E(asin⁡(x)|−1)for x≥0∧x<1)\int \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x + 1}}\, dx = C + 2 \sqrt{x + 1} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \left(\begin{cases} E\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\middle| -1\right) & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
-pi + 2*E(-1)
−π+2E(−1)- \pi + 2 E\left(-1\right) 
=
= 
-pi + 2*E(-1)
−π+2E(−1)- \pi + 2 E\left(-1\right) 
-pi + 2*elliptic_e(-1)
Respuesta numérica [src] 
0.678605135437919
0.678605135437919

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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