Integral de arccos(sqrt(x))/sqrt(x+1) dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2 u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du = 2 \int \frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 1}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = u^{2} + 1$.

            Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sqrt{u^{2} + 1}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{u^{2} + 1}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{\sqrt{u^{2} + 1}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sqrt(sin(_theta)**2 + 1), substep=EllipticERule(a=1, d=-1, context=sqrt(sin(_theta)**2 + 1), symbol=_theta), restriction=(_u > -1) & (_u < 1), context=sqrt(_u**2 + 1)/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} E\left(\operatorname{asin}{\left(u \right)}\middle| -1\right) & \text{for}\: u > -1 \wedge u < 1 \end{cases}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{u^{2} + 1} \operatorname{acos}{\left(u \right)} + 2 \left(\begin{cases} E\left(\operatorname{asin}{\left(u \right)}\middle| -1\right) & \text{for}\: u > -1 \wedge u < 1 \end{cases}\right)$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $2 \sqrt{x + 1} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \left(\begin{cases} E\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\middle| -1\right) & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} 2 \left(\sqrt{x + 1} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)} + E\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\middle| -1\right)\right) & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} 2 \left(\sqrt{x + 1} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)} + E\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\middle| -1\right)\right) & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} 2 \left(\sqrt{x + 1} \operatorname{acos}{\left(\sqrt{x} \right)} + E\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\middle| -1\right)\right) & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$