Sr Examen

Integral de arccos(6⋅x)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1             
  /             
 |              
 |  acos(6*x) dx
 |              
/               
0               
01acos(6x)dx\int\limits_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left(6 x \right)}\, dx
Integral(acos(6*x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=6xu = 6 x.

      Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

      acos(u)6du\int \frac{\operatorname{acos}{\left(u \right)}}{6}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        acos(u)du=acos(u)du6\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du}{6}

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=acos(u)u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)} y que dv(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

          Entonces du(u)=11u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1du=u\int 1\, du = u

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (u1u2)du=u1u2du\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

          1. que u=1u2u = 1 - u^{2}.

            Luego que du=2ududu = - 2 u du y ponemos du2- \frac{du}{2}:

            (12u)du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1udu=1udu2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Por lo tanto, el resultado es: u- \sqrt{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            1u2- \sqrt{1 - u^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 1u2\sqrt{1 - u^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: uacos(u)61u26\frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{6} - \frac{\sqrt{1 - u^{2}}}{6}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xacos(6x)136x26x \operatorname{acos}{\left(6 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 36 x^{2}}}{6}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=acos(6x)u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(6 x \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du(x)=6136x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{6}{\sqrt{1 - 36 x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (6x136x2)dx=6x136x2dx\int \left(- \frac{6 x}{\sqrt{1 - 36 x^{2}}}\right)\, dx = - 6 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 36 x^{2}}}\, dx

      1. que u=136x2u = 1 - 36 x^{2}.

        Luego que du=72xdxdu = - 72 x dx y ponemos du72- \frac{du}{72}:

        (172u)du\int \left(- \frac{1}{72 \sqrt{u}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1udu=1udu72\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{72}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            1udu=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Por lo tanto, el resultado es: u36- \frac{\sqrt{u}}{36}

        Si ahora sustituir uu más en:

        136x236- \frac{\sqrt{1 - 36 x^{2}}}{36}

      Por lo tanto, el resultado es: 136x26\frac{\sqrt{1 - 36 x^{2}}}{6}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xacos(6x)136x26+constantx \operatorname{acos}{\left(6 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 36 x^{2}}}{6}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

xacos(6x)136x26+constantx \operatorname{acos}{\left(6 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 36 x^{2}}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
                         ___________              
  /                     /         2               
 |                    \/  1 - 36*x                
 | acos(6*x) dx = C - -------------- + x*acos(6*x)
 |                          6                     
/                                                 
acos(6x)dx=C+xacos(6x)136x26\int \operatorname{acos}{\left(6 x \right)}\, dx = C + x \operatorname{acos}{\left(6 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 36 x^{2}}}{6}
Gráfica
0.000.020.040.060.080.100.120.140.162-2
Respuesta [src]
        ____          
1   I*\/ 35           
- - -------- + acos(6)
6      6              
1635i6+acos(6)\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{35} i}{6} + \operatorname{acos}{\left(6 \right)}
=
=
        ____          
1   I*\/ 35           
- - -------- + acos(6)
6      6              
1635i6+acos(6)\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{35} i}{6} + \operatorname{acos}{\left(6 \right)}
1/6 - i*sqrt(35)/6 + acos(6)
Respuesta numérica [src]
(0.166806746787454 + 1.49201817951304j)
(0.166806746787454 + 1.49201817951304j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.