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Resolución de integrales/ (6-x)/ x*(6-x)*sin(x/6)

Integral de x*(6-x)*sin(x/6) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  6                    
  /                    
 |                     
 |               /x\   
 |  x*(6 - x)*sin|-| dx
 |               \6/   
 |                     
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0
∫06x(6−x)sin⁡(x6) dx\int\limits_{0}^{6} x \left(6 - x\right) \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx 
Integral((x*(6 - x))*sin(x/6), (x, 0, 6))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(−u2sin⁡(u6)−6usin⁡(u6)) du\int \left(- u^{2} \sin{\left(\frac{u}{6} \right)} - 6 u \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u2sin⁡(u6)) du=−∫u2sin⁡(u6) du\int \left(- u^{2} \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}\right)\, du = - \int u^{2} \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=sin⁡(u6)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=u6u = \frac{u}{6}.

              Luego que du=du6du = \frac{du}{6} y ponemos 6du6 du:

              ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −6cos⁡(u6)- 6 \cos{\left(\frac{u}{6} \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=−12uu{\left(u \right)} = - 12 u y que dv⁡(u)=cos⁡(u6)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(\frac{u}{6} \right)}.

            Entonces du⁡(u)=−12\operatorname{du}{\left(u \right)} = -12.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=u6u = \frac{u}{6}.

              Luego que du=du6du = \frac{du}{6} y ponemos 6du6 du:

              ∫6cos⁡(u) du\int 6 \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 6 \int \cos{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)6 \sin{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              6sin⁡(u6)6 \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−72sin⁡(u6)) du=−72∫sin⁡(u6) du\int \left(- 72 \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}\right)\, du = - 72 \int \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}\, du

            1. que u=u6u = \frac{u}{6}.

              Luego que du=du6du = \frac{du}{6} y ponemos 6du6 du:

              ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −6cos⁡(u6)- 6 \cos{\left(\frac{u}{6} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 432cos⁡(u6)432 \cos{\left(\frac{u}{6} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 6u2cos⁡(u6)−72usin⁡(u6)−432cos⁡(u6)6 u^{2} \cos{\left(\frac{u}{6} \right)} - 72 u \sin{\left(\frac{u}{6} \right)} - 432 \cos{\left(\frac{u}{6} \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−6usin⁡(u6)) du=−6∫usin⁡(u6) du\int \left(- 6 u \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}\right)\, du = - 6 \int u \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u6)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=u6u = \frac{u}{6}.

              Luego que du=du6du = \frac{du}{6} y ponemos 6du6 du:

              ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −6cos⁡(u6)- 6 \cos{\left(\frac{u}{6} \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−6cos⁡(u6)) du=−6∫cos⁡(u6) du\int \left(- 6 \cos{\left(\frac{u}{6} \right)}\right)\, du = - 6 \int \cos{\left(\frac{u}{6} \right)}\, du

            1. que u=u6u = \frac{u}{6}.

              Luego que du=du6du = \frac{du}{6} y ponemos 6du6 du:

              ∫6cos⁡(u) du\int 6 \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 6 \int \cos{\left(u \right)}\, du

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)6 \sin{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              6sin⁡(u6)6 \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −36sin⁡(u6)- 36 \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 36ucos⁡(u6)−216sin⁡(u6)36 u \cos{\left(\frac{u}{6} \right)} - 216 \sin{\left(\frac{u}{6} \right)}

        El resultado es: 6u2cos⁡(u6)−72usin⁡(u6)+36ucos⁡(u6)−216sin⁡(u6)−432cos⁡(u6)6 u^{2} \cos{\left(\frac{u}{6} \right)} - 72 u \sin{\left(\frac{u}{6} \right)} + 36 u \cos{\left(\frac{u}{6} \right)} - 216 \sin{\left(\frac{u}{6} \right)} - 432 \cos{\left(\frac{u}{6} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      6x2cos⁡(x6)−72xsin⁡(x6)−36xcos⁡(x6)+216sin⁡(x6)−432cos⁡(x6)6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} - 72 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 36 x \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} + 216 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(6−x)sin⁡(x6)=−x2sin⁡(x6)+6xsin⁡(x6)x \left(6 - x\right) \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} = - x^{2} \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} + 6 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2sin⁡(x6)) dx=−∫x2sin⁡(x6) dx\int \left(- x^{2} \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\right)\, dx = - \int x^{2} \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

            Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

            ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −6cos⁡(x6)- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−12xu{\left(x \right)} = - 12 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−12\operatorname{du}{\left(x \right)} = -12.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

            Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

            ∫6cos⁡(u) du\int 6 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 6 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)6 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            6sin⁡(x6)6 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−72sin⁡(x6)) dx=−72∫sin⁡(x6) dx\int \left(- 72 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\right)\, dx = - 72 \int \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx

          1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

            Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

            ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −6cos⁡(x6)- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 432cos⁡(x6)432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6x2cos⁡(x6)−72xsin⁡(x6)−432cos⁡(x6)6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} - 72 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6xsin⁡(x6) dx=6∫xsin⁡(x6) dx\int 6 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx = 6 \int x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

            Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

            ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −6cos⁡(x6)- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−6cos⁡(x6)) dx=−6∫cos⁡(x6) dx\int \left(- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}\right)\, dx = - 6 \int \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx

          1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

            Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

            ∫6cos⁡(u) du\int 6 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 6 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)6 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            6sin⁡(x6)6 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −36sin⁡(x6)- 36 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −36xcos⁡(x6)+216sin⁡(x6)- 36 x \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} + 216 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

      El resultado es: 6x2cos⁡(x6)−72xsin⁡(x6)−36xcos⁡(x6)+216sin⁡(x6)−432cos⁡(x6)6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} - 72 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 36 x \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} + 216 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x(6−x)u{\left(x \right)} = x \left(6 - x\right) y que dv⁡(x)=sin⁡(x6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=6−2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 - 2 x.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

        Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

        ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −6cos⁡(x6)- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=12x−36u{\left(x \right)} = 12 x - 36 y que dv⁡(x)=cos⁡(x6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=12\operatorname{du}{\left(x \right)} = 12.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

        Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

        ∫6cos⁡(u) du\int 6 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 6 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)6 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        6sin⁡(x6)6 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫72sin⁡(x6) dx=72∫sin⁡(x6) dx\int 72 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx = 72 \int \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx

      1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

        Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

        ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −6cos⁡(x6)- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −432cos⁡(x6)- 432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(6−x)sin⁡(x6)=−x2sin⁡(x6)+6xsin⁡(x6)x \left(6 - x\right) \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} = - x^{2} \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} + 6 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2sin⁡(x6)) dx=−∫x2sin⁡(x6) dx\int \left(- x^{2} \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\right)\, dx = - \int x^{2} \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

            Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

            ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −6cos⁡(x6)- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−12xu{\left(x \right)} = - 12 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−12\operatorname{du}{\left(x \right)} = -12.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

            Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

            ∫6cos⁡(u) du\int 6 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 6 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)6 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            6sin⁡(x6)6 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−72sin⁡(x6)) dx=−72∫sin⁡(x6) dx\int \left(- 72 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\right)\, dx = - 72 \int \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx

          1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

            Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

            ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −6cos⁡(x6)- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 432cos⁡(x6)432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6x2cos⁡(x6)−72xsin⁡(x6)−432cos⁡(x6)6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} - 72 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6xsin⁡(x6) dx=6∫xsin⁡(x6) dx\int 6 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx = 6 \int x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x6)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

            Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

            ∫6sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −6cos⁡(x6)- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−6cos⁡(x6)) dx=−6∫cos⁡(x6) dx\int \left(- 6 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}\right)\, dx = - 6 \int \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx

          1. que u=x6u = \frac{x}{6}.

            Luego que du=dx6du = \frac{dx}{6} y ponemos 6du6 du:

            ∫6cos⁡(u) du\int 6 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=6∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 6 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(u)6 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            6sin⁡(x6)6 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −36sin⁡(x6)- 36 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −36xcos⁡(x6)+216sin⁡(x6)- 36 x \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} + 216 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}

      El resultado es: 6x2cos⁡(x6)−72xsin⁡(x6)−36xcos⁡(x6)+216sin⁡(x6)−432cos⁡(x6)6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} - 72 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 36 x \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} + 216 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    6x2cos⁡(x6)−72xsin⁡(x6)−36xcos⁡(x6)+216sin⁡(x6)−432cos⁡(x6)+constant6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} - 72 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 36 x \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} + 216 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

6x2cos⁡(x6)−72xsin⁡(x6)−36xcos⁡(x6)+216sin⁡(x6)−432cos⁡(x6)+constant6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} - 72 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 36 x \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} + 216 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                           
 |                                                                                            
 |              /x\                 /x\          /x\           /x\           /x\      2    /x\
 | x*(6 - x)*sin|-| dx = C - 432*cos|-| + 216*sin|-| - 72*x*sin|-| - 36*x*cos|-| + 6*x *cos|-|
 |              \6/                 \6/          \6/           \6/           \6/           \6/
 |                                                                                            
/
∫x(6−x)sin⁡(x6) dx=C+6x2cos⁡(x6)−72xsin⁡(x6)−36xcos⁡(x6)+216sin⁡(x6)−432cos⁡(x6)\int x \left(6 - x\right) \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx = C + 6 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} - 72 x \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 36 x \cos{\left(\frac{x}{6} \right)} + 216 \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} - 432 \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.06.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5-500500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
432 - 432*cos(1) - 216*sin(1)
−432cos⁡(1)−216sin⁡(1)+432- 432 \cos{\left(1 \right)} - 216 \sin{\left(1 \right)} + 432 
=
= 
432 - 432*cos(1) - 216*sin(1)
−432cos⁡(1)−216sin⁡(1)+432- 432 \cos{\left(1 \right)} - 216 \sin{\left(1 \right)} + 432 
432 - 432*cos(1) - 216*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
16.831671146458
16.831671146458

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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