Sr Examen
Integral de sin2/cosx dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | sin(2) | ------ dx | cos(x) | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$
Integral(sin(2)/cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | sin(2) | ------ dx | cos(x) | /
La función subintegral
sin(2) ------ cos(x)
Multiplicamos numerador y denominador por
cos(x)
obtendremos
sin(2) sin(2)*cos(x)
------ = -------------
cos(x) 2
cos (x) Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 cos (x) = 1 - sin (x)
cambiamos denominador
sin(2)*cos(x) sin(2)*cos(x)
------------- = -------------
2 2
cos (x) 1 - sin (x) hacemos el cambio
u = sin(x)
entonces integral
/ | | sin(2)*cos(x) | ------------- dx | 2 = | 1 - sin (x) | /
/ | | sin(2)*cos(x) | ------------- dx | 2 = | 1 - sin (x) | /
Como du = dx*cos(x)
/ | | sin(2) | ------ du | 2 | 1 - u | /
Reescribimos la función subintegral
sin(2) sin(2) / 1 1 \
------ = ------*|----- + -----|
2 2 \1 - u 1 + u/
1 - u entonces
/ / / \
| | | |
| | 1 | 1 |
| | ----- du + | ----- du|*sin(2)
/ | | 1 + u | 1 - u |
| | | | |
| sin(2) \/ / / =
| ------ du = ----------------------------------
| 2 2
| 1 - u
|
/
= -(log(-1 + u)/2 - log(1 + u)/2)*sin(2)
hacemos cambio inverso
u = sin(x)
Respuesta
/ | | sin(2) /log(1 + sin(x)) log(-1 + sin(x))\ | ------ dx = |--------------- - ----------------|*sin(2) + C0 | cos(x) \ 2 2 / | /
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | sin(2) /log(1 + sin(x)) log(-1 + sin(x))\ | ------ dx = C + |--------------- - ----------------|*sin(2) | cos(x) \ 2 2 / | /
$$\int \frac{\sin{\left(2 \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = C + \left(- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}\right) \sin{\left(2 \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
/log(1 + sin(1)) log(1 - sin(1)) pi*I\ pi*I*sin(2) |--------------- - --------------- - ----|*sin(2) + ----------- \ 2 2 2 / 2
$$\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(1 - \sin{\left(1 \right)} \right)}}{2} - \frac{i \pi}{2}\right) \sin{\left(2 \right)} + \frac{i \pi \sin{\left(2 \right)}}{2}$$
=
=
/log(1 + sin(1)) log(1 - sin(1)) pi*I\ pi*I*sin(2) |--------------- - --------------- - ----|*sin(2) + ----------- \ 2 2 2 / 2
$$\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(1 - \sin{\left(1 \right)} \right)}}{2} - \frac{i \pi}{2}\right) \sin{\left(2 \right)} + \frac{i \pi \sin{\left(2 \right)}}{2}$$
(log(1 + sin(1))/2 - log(1 - sin(1))/2 - pi*i/2)*sin(2) + pi*i*sin(2)/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.