Integral de (1-2x)^15 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{15}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{15}\, du = - \frac{\int u^{15}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{16}}{32}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - 2 x\right)^{16}}{32}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - 2 x\right)^{15} = - 32768 x^{15} + 245760 x^{14} - 860160 x^{13} + 1863680 x^{12} - 2795520 x^{11} + 3075072 x^{10} - 2562560 x^{9} + 1647360 x^{8} - 823680 x^{7} + 320320 x^{6} - 96096 x^{5} + 21840 x^{4} - 3640 x^{3} + 420 x^{2} - 30 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 32768 x^{15}\right)\, dx = - 32768 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2048 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 245760 x^{14}\, dx = 245760 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16384 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 860160 x^{13}\right)\, dx = - 860160 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 61440 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1863680 x^{12}\, dx = 1863680 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $143360 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2795520 x^{11}\right)\, dx = - 2795520 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 232960 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3075072 x^{10}\, dx = 3075072 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $279552 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2562560 x^{9}\right)\, dx = - 2562560 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 256256 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1647360 x^{8}\, dx = 1647360 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $183040 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 823680 x^{7}\right)\, dx = - 823680 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 102960 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 320320 x^{6}\, dx = 320320 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $45760 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 96096 x^{5}\right)\, dx = - 96096 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 16016 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 21840 x^{4}\, dx = 21840 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4368 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3640 x^{3}\right)\, dx = - 3640 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 910 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 420 x^{2}\, dx = 420 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $140 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 30 x\right)\, dx = - 30 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 15 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $- 2048 x^{16} + 16384 x^{15} - 61440 x^{14} + 143360 x^{13} - 232960 x^{12} + 279552 x^{11} - 256256 x^{10} + 183040 x^{9} - 102960 x^{8} + 45760 x^{7} - 16016 x^{6} + 4368 x^{5} - 910 x^{4} + 140 x^{3} - 15 x^{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(2 x - 1\right)^{16}}{32}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(2 x - 1\right)^{16}}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(2 x - 1\right)^{16}}{32}+ \mathrm{constant}$