Integral de (sin(3x))^5 dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |  sin (3*x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{5}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Integral(sin(3*x)^5, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{5}{\left(3 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(3 x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = 3 x$ .
  
  Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(\frac{\sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}}{3} - \frac{2 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)} \cos^{4}{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      que $u = \cos{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{4}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{15}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}}{3}\right)\, du = - \frac{2 \int \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      que $u = \cos{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}{9}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
    El resultado es: $- \frac{\cos^{5}{\left(u \right)}}{15} + \frac{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\cos^{5}{\left(3 x \right)}}{15} + \frac{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(3 x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} \cos^{4}{\left(3 x \right)} - 2 \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cos{\left(3 x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$ :
    
    $\int \left(- \frac{u^{4}}{3}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{3}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{15}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{5}{\left(3 x \right)}}{15}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(3 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$ :
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
  1. que $u = 3 x$ .
    
    Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
  El resultado es: $- \frac{\cos^{5}{\left(3 x \right)}}{15} + \frac{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)^{2} \sin{\left(3 x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} \cos^{4}{\left(3 x \right)} - 2 \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \cos{\left(3 x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$ :
    
    $\int \left(- \frac{u^{4}}{3}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \frac{\int u^{4}\, du}{3}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{15}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{5}{\left(3 x \right)}}{15}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(3 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$ :
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
  1. que $u = 3 x$ .
    
    Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
  El resultado es: $- \frac{\cos^{5}{\left(3 x \right)}}{15} + \frac{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
Ahora simplificar:

$- \frac{\left(3 \sin^{4}{\left(3 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 8\right) \cos{\left(3 x \right)}}{45}$
Añadimos la constante de integración:

$- \frac{\left(3 \sin^{4}{\left(3 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 8\right) \cos{\left(3 x \right)}}{45}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(3 \sin^{4}{\left(3 x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 8\right) \cos{\left(3 x \right)}}{45}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                     
 |                                  5             3     
 |    5               cos(3*x)   cos (3*x)   2*cos (3*x)
 | sin (3*x) dx = C - -------- - --------- + -----------
 |                       3           15           9     
/

$$\int \sin^{5}{\left(3 x \right)}\, dx = C - \frac{\cos^{5}{\left(3 x \right)}}{15} + \frac{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                 5           3   
8    cos(3)   cos (3)   2*cos (3)
-- - ------ - ------- + ---------
45     3         15         9

$$\frac{2 \cos^{3}{\left(3 \right)}}{9} - \frac{\cos^{5}{\left(3 \right)}}{15} + \frac{8}{45} - \frac{\cos{\left(3 \right)}}{3}$$

                 5           3   
8    cos(3)   cos (3)   2*cos (3)
-- - ------ - ------- + ---------
45     3         15         9

$$\frac{2 \cos^{3}{\left(3 \right)}}{9} - \frac{\cos^{5}{\left(3 \right)}}{15} + \frac{8}{45} - \frac{\cos{\left(3 \right)}}{3}$$

8/45 - cos(3)/3 - cos(3)^5/15 + 2*cos(3)^3/9

Respuesta numérica [src]

0.355555113446564

0.355555113446564

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de (sin(3x))^5 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3