Integral de 4dx\(cbrt(8+2x)) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{4}{\sqrt[3]{2 x + 8}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{2 x + 8}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sqrt[3]{2 x + 8}$.

         Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \left(2 x + 8\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$:

         $\int \frac{3 u}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = \frac{3 \int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \left(2 x + 8\right)^{\frac{2}{3}}}{4}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\sqrt[3]{2 x + 8}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt[3]{x + 4}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt[3]{x + 4}}\, dx = \frac{2^{\frac{2}{3}} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 4}}\, dx}{2}$

         1. que $u = x + 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 \left(x + 4\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \left(x + 4\right)^{\frac{2}{3}}}{4}$

   Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(2 x + 8\right)^{\frac{2}{3}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 \left(2 x + 8\right)^{\frac{2}{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \left(2 x + 8\right)^{\frac{2}{3}}+ \mathrm{constant}$