Integral de -4sin^2(t)+4cos^2(t) dt

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 4 \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

            1. que $u = 2 t$.

               Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 t + \sin{\left(2 t \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = 4 \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

            1. que $u = 2 t$.

               Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

         El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 t + \sin{\left(2 t \right)}$

   El resultado es: $2 \sin{\left(2 t \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sin{\left(2 t \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sin{\left(2 t \right)}+ \mathrm{constant}$