Integral de 2^x*(1+3*x^2*2^(-x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- 2^{- u} \left(3 \cdot 2^{u} u^{2} + 1\right)\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2^{- u} \left(3 \cdot 2^{u} u^{2} + 1\right)\, du = - \int 2^{- u} \left(3 \cdot 2^{u} u^{2} + 1\right)\, du$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 2^{u} - 3 u^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2^{u}\right)\, du = - \int 2^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                     $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 3 u^{2}\right)\, du = - 3 \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- u^{3}$

               El resultado es: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}} - u^{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $u^{3} - \frac{2^{- u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u^{3} + \frac{2^{- u}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + x^{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2^{x} \left(1 + 2^{- x} 3 x^{2}\right) = 2^{x} + 3 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

         $\int 2^{x}\, dx = \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{3}$

      El resultado es: $\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + x^{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + x^{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}} + x^{3}+ \mathrm{constant}$