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Resolución de integrales/ (2x-3)/ (2x+1)/ x/(2x+1)(2x-3)

Integral de x/(2x+1)(2x-3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |     x                
 |  -------*(2*x - 3) dx
 |  2*x + 1             
 |                      
/                       
0
∫01x2x+1(2x−3) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{2 x + 1} \left(2 x - 3\right)\, dx 
Integral((x/(2*x + 1))*(2*x - 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2x+1(2x−3)=x−2+22x+1\frac{x}{2 x + 1} \left(2 x - 3\right) = x - 2 + \frac{2}{2 x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫22x+1 dx=2∫12x+1 dx\int \frac{2}{2 x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx

        1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x+1)\log{\left(2 x + 1 \right)}

      El resultado es: x22−2x+log⁡(2x+1)\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \log{\left(2 x + 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2x+1(2x−3)=2x2−3x2x+1\frac{x}{2 x + 1} \left(2 x - 3\right) = \frac{2 x^{2} - 3 x}{2 x + 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      2x2−3x2x+1=x−2+22x+1\frac{2 x^{2} - 3 x}{2 x + 1} = x - 2 + \frac{2}{2 x + 1}

    3. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫22x+1 dx=2∫12x+1 dx\int \frac{2}{2 x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx

        1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x+1)\log{\left(2 x + 1 \right)}

      El resultado es: x22−2x+log⁡(2x+1)\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \log{\left(2 x + 1 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2x+1(2x−3)=2x22x+1−3x2x+1\frac{x}{2 x + 1} \left(2 x - 3\right) = \frac{2 x^{2}}{2 x + 1} - \frac{3 x}{2 x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x22x+1 dx=2∫x22x+1 dx\int \frac{2 x^{2}}{2 x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{2 x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x22x+1=x2−14+14(2x+1)\frac{x^{2}}{2 x + 1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−14) dx=−x4\int \left(- \frac{1}{4}\right)\, dx = - \frac{x}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫14(2x+1) dx=∫12x+1 dx4\int \frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{4}

            1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x+1)8\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

          El resultado es: x24−x4+log⁡(2x+1)8\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: x22−x2+log⁡(2x+1)4\frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3x2x+1) dx=−3∫x2x+1 dx\int \left(- \frac{3 x}{2 x + 1}\right)\, dx = - 3 \int \frac{x}{2 x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+1=12−12(2x+1)\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−12(2x+1)) dx=−∫12x+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}

            1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x+1)4- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}

          El resultado es: x2−log⁡(2x+1)4\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −3x2+3log⁡(2x+1)4- \frac{3 x}{2} + \frac{3 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}

      El resultado es: x22−2x+log⁡(2x+1)\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \log{\left(2 x + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x22−2x+log⁡(2x+1)+constant\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \log{\left(2 x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x22−2x+log⁡(2x+1)+constant\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \log{\left(2 x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                             2                     
 |    x                       x                      
 | -------*(2*x - 3) dx = C + -- - 2*x + log(1 + 2*x)
 | 2*x + 1                    2                      
 |                                                   
/
∫x2x+1(2x−3) dx=C+x22−2x+log⁡(2x+1)\int \frac{x}{2 x + 1} \left(2 x - 3\right)\, dx = C + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \log{\left(2 x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-3/2 + log(3)
−32+log⁡(3)- \frac{3}{2} + \log{\left(3 \right)} 
=
= 
-3/2 + log(3)
−32+log⁡(3)- \frac{3}{2} + \log{\left(3 \right)} 
-3/2 + log(3)
Respuesta numérica [src] 
-0.40138771133189
-0.40138771133189

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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