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Resolución de integrales/ sin^4/ sin^4(6x)

Integral de sin^4(6x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  sin (6*x) dx
 |              
/               
0
∫01sin⁡4(6x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(6 x \right)}\, dx 
Integral(sin(6*x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡4(6x)=(12−cos⁡(12x)2)2\sin^{4}{\left(6 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\right)^{2}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(12x)2)2=cos⁡2(12x)4−cos⁡(12x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(12 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(12x)4 dx=∫cos⁡2(12x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(12 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(12 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(12x)=cos⁡(24x)2+12\cos^{2}{\left(12 x \right)} = \frac{\cos{\left(24 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(24x)2 dx=∫cos⁡(24x) dx2\int \frac{\cos{\left(24 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(24 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=24xu = 24 x.

              Luego que du=24dxdu = 24 dx y ponemos du24\frac{du}{24}:

              ∫cos⁡(u)24 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{24}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du24\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{24}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)24\frac{\sin{\left(u \right)}}{24}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(24x)24\frac{\sin{\left(24 x \right)}}{24}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(24x)48\frac{\sin{\left(24 x \right)}}{48}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(24x)48\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(24 x \right)}}{48}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(24x)192\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(24 x \right)}}{192}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(12x)2) dx=−∫cos⁡(12x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=12xu = 12 x.

          Luego que du=12dxdu = 12 dx y ponemos du12\frac{du}{12}:

          ∫cos⁡(u)12 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du12\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)12\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(12x)12\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(12x)24- \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8−sin⁡(12x)24+sin⁡(24x)192\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(24 x \right)}}{192}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(12x)2)2=cos⁡2(12x)4−cos⁡(12x)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(12 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(12x)4 dx=∫cos⁡2(12x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(12 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(12 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(12x)=cos⁡(24x)2+12\cos^{2}{\left(12 x \right)} = \frac{\cos{\left(24 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(24x)2 dx=∫cos⁡(24x) dx2\int \frac{\cos{\left(24 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(24 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=24xu = 24 x.

              Luego que du=24dxdu = 24 dx y ponemos du24\frac{du}{24}:

              ∫cos⁡(u)24 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{24}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du24\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{24}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)24\frac{\sin{\left(u \right)}}{24}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(24x)24\frac{\sin{\left(24 x \right)}}{24}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(24x)48\frac{\sin{\left(24 x \right)}}{48}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(24x)48\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(24 x \right)}}{48}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(24x)192\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(24 x \right)}}{192}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(12x)2) dx=−∫cos⁡(12x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=12xu = 12 x.

          Luego que du=12dxdu = 12 dx y ponemos du12\frac{du}{12}:

          ∫cos⁡(u)12 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du12\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)12\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(12x)12\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(12x)24- \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8−sin⁡(12x)24+sin⁡(24x)192\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(24 x \right)}}{192}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x8−sin⁡(12x)24+sin⁡(24x)192+constant\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(24 x \right)}}{192}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x8−sin⁡(12x)24+sin⁡(24x)192+constant\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(24 x \right)}}{192}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                               
 |    4               sin(12*x)   sin(24*x)   3*x
 | sin (6*x) dx = C - --------- + --------- + ---
 |                        24         192       8 
/
∫sin⁡4(6x) dx=C+3x8−sin⁡(12x)24+sin⁡(24x)192\int \sin^{4}{\left(6 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(24 x \right)}}{192}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                       3          
3   cos(6)*sin(6)   sin (6)*cos(6)
- - ------------- - --------------
8         16              24
−sin⁡3(6)cos⁡(6)24−sin⁡(6)cos⁡(6)16+38- \frac{\sin^{3}{\left(6 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(6 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{16} + \frac{3}{8} 
=
= 
                       3          
3   cos(6)*sin(6)   sin (6)*cos(6)
- - ------------- - --------------
8         16              24
−sin⁡3(6)cos⁡(6)24−sin⁡(6)cos⁡(6)16+38- \frac{\sin^{3}{\left(6 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(6 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{16} + \frac{3}{8} 
3/8 - cos(6)*sin(6)/16 - sin(6)^3*cos(6)/24
Respuesta numérica [src] 
0.3926406509479
0.3926406509479

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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