Sr Examen

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Integral de sin(x)*cos^5*x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                  
  /                  
 |                   
 |            5      
 |  sin(x)*cos (x) dx
 |                   
/                    
0                    
01sin(x)cos5(x)dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx
Integral(sin(x)*cos(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

      (u5)du\int \left(- u^{5}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        u5du=u5du\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u5du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: u66- \frac{u^{6}}{6}

      Si ahora sustituir uu más en:

      cos6(x)6- \frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin(x)cos5(x)=(1sin2(x))2sin(x)cos(x)\sin{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. que u=1sin2(x)u = 1 - \sin^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=2sin(x)cos(x)dxdu = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du2- \frac{du}{2}:

      (u22)du\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        u2du=u2du2\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: u36- \frac{u^{3}}{6}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (1sin2(x))36- \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3}}{6}

  2. Añadimos la constante de integración:

    cos6(x)6+constant- \frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

cos6(x)6+constant- \frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                               
 |                            6   
 |           5             cos (x)
 | sin(x)*cos (x) dx = C - -------
 |                            6   
/                                 
sin(x)cos5(x)dx=Ccos6(x)6\int \sin{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.5-0.5
Respuesta [src]
       6   
1   cos (1)
- - -------
6      6   
16cos6(1)6\frac{1}{6} - \frac{\cos^{6}{\left(1 \right)}}{6}
=
=
       6   
1   cos (1)
- - -------
6      6   
16cos6(1)6\frac{1}{6} - \frac{\cos^{6}{\left(1 \right)}}{6}
1/6 - cos(1)^6/6
Respuesta numérica [src]
0.162520281180929
0.162520281180929

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.