Sr Examen

Integral de ln(2x+3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |  log(2*x + 3) dx
 |                 
/                  
0                  
01log(2x+3)dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(2 x + 3 \right)}\, dx
Integral(log(2*x + 3), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      log(u)2du\int \frac{\log{\left(u \right)}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        log(u)du=log(u)du2\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=log(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

          Entonces du(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1du=u\int 1\, du = u

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1du=u\int 1\, du = u

        Por lo tanto, el resultado es: ulog(u)2u2\frac{u \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x+(2x+3)log(2x+3)232- x + \frac{\left(2 x + 3\right) \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2} - \frac{3}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(2x+3)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x + 3 \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du(x)=22x+3\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{2 x + 3}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      2x2x+3dx=2x2x+3dx\int \frac{2 x}{2 x + 3}\, dx = 2 \int \frac{x}{2 x + 3}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2x+3=1232(2x+3)\frac{x}{2 x + 3} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \left(2 x + 3\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (32(2x+3))dx=312x+3dx2\int \left(- \frac{3}{2 \left(2 x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx}{2}

          1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(2x+3)2\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 3log(2x+3)4- \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

        El resultado es: x23log(2x+3)4\frac{x}{2} - \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: x3log(2x+3)2x - \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    x+(2x+3)log(2x+3)232- x + \frac{\left(2 x + 3\right) \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2} - \frac{3}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x+(2x+3)log(2x+3)232+constant- x + \frac{\left(2 x + 3\right) \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2} - \frac{3}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x+(2x+3)log(2x+3)232+constant- x + \frac{\left(2 x + 3\right) \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2} - \frac{3}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                      
 |                     3           (2*x + 3)*log(2*x + 3)
 | log(2*x + 3) dx = - - + C - x + ----------------------
 |                     2                     2           
/                                                        
log(2x+3)dx=Cx+(2x+3)log(2x+3)232\int \log{\left(2 x + 3 \right)}\, dx = C - x + \frac{\left(2 x + 3\right) \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2} - \frac{3}{2}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9004
Respuesta [src]
     3*log(3)   5*log(5)
-1 - -------- + --------
        2          2    
3log(3)21+5log(5)2- \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{2} - 1 + \frac{5 \log{\left(5 \right)}}{2}
=
=
     3*log(3)   5*log(5)
-1 - -------- + --------
        2          2    
3log(3)21+5log(5)2- \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{2} - 1 + \frac{5 \log{\left(5 \right)}}{2}
-1 - 3*log(3)/2 + 5*log(5)/2
Respuesta numérica [src]
1.37567634808309
1.37567634808309

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.