Integral de (x√x+2x^5)/√x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 u^{10} + 2 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{10}\, du = 4 \int u^{10}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{11}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

         El resultado es: $\frac{4 u^{11}}{11} + \frac{u^{4}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 x^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{x^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{x} x + 2 x^{5}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} + \frac{2 x^{5}}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2}{u^{5}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x^{5}}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \int \frac{x^{5}}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- \frac{2}{u^{12}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{12}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{12}}\, du = - \frac{1}{11 u^{11}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{11 u^{11}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 x^{\frac{11}{2}}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{11}{2}}}{11}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$