Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Integral de d{x}:
  • Integral de (x^2-9)^(1/2)/x
  • Integral de 1/(e^x)
  • Integral de (1+4x^2)^(1/2)
  • Integral de 1/sqrt(y)

  • Expresiones idénticas

  • (cos3x)^ cuatro *(sin3x)^ dos
  • ( coseno de 3x) en el grado 4 multiplicar por ( seno de 3x) al cuadrado
  • ( coseno de 3x) en el grado cuatro multiplicar por ( seno de 3x) en el grado dos
  • (cos3x)4*(sin3x)2
  • cos3x4*sin3x2
  • (cos3x)⁴*(sin3x)²
  • (cos3x) en el grado 4*(sin3x) en el grado 2
  • (cos3x)^4(sin3x)^2
  • (cos3x)4(sin3x)2
  • cos3x4sin3x2
  • cos3x^4sin3x^2
  • (cos3x)^4*(sin3x)^2dx
Resolución de integrales/ cos3x/ sin3x/ (cos3x)^4*(sin3x)^2

Integral de (cos3x)^4*(sin3x)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |     4         2        
 |  cos (3*x)*sin (3*x) dx
 |                        
/                         
0
∫01sin⁡2(3x)cos⁡4(3x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos^{4}{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral(cos(3*x)^4*sin(3*x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡2(3x)cos⁡4(3x)=(12−cos⁡(6x)2)(cos⁡(6x)2+12)2\sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos^{4}{\left(3 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=6xu = 6 x.

      Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos dudu:

      ∫(−cos⁡3(u)48−cos⁡2(u)48+cos⁡(u)48+148) du\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{48} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{48} + \frac{1}{48}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡3(u)48) du=−∫cos⁡3(u) du48\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{48}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{48}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡3(u)=(1−sin⁡2(u))cos⁡(u)\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}

          2. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡3(u)3+sin⁡(u)- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(u)144−sin⁡(u)48\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(u \right)}}{48}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡2(u)48) du=−∫cos⁡2(u) du48\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{48}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{48}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u96−sin⁡(2u)192- \frac{u}{96} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{192}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u)48 du=∫cos⁡(u) du48\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{48}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{48}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)48\frac{\sin{\left(u \right)}}{48}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫148 du=u48\int \frac{1}{48}\, du = \frac{u}{48}

        El resultado es: u96−sin⁡(2u)192+sin⁡3(u)144\frac{u}{96} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{192} + \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{144}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x16+sin⁡3(6x)144−sin⁡(12x)192\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(6x)2)(cos⁡(6x)2+12)2=−cos⁡3(6x)8−cos⁡2(6x)8+cos⁡(6x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡3(6x)8) dx=−∫cos⁡3(6x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(6x)=(1−sin⁡2(6x))cos⁡(6x)\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}

        2. que u=sin⁡(6x)u = \sin{\left(6 x \right)}.

          Luego que du=6cos⁡(6x)dxdu = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(16−u26) du\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫16 du=u6\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u26) du=−∫u2 du6\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u318- \frac{u^{3}}{18}

            El resultado es: −u318+u6- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(6x)18+sin⁡(6x)6- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(6x)144−sin⁡(6x)48\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(6x)8) dx=−∫cos⁡2(6x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(6x)=cos⁡(12x)2+12\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(12x)2 dx=∫cos⁡(12x) dx2\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=12xu = 12 x.

              Luego que du=12dxdu = 12 dx y ponemos du12\frac{du}{12}:

              ∫cos⁡(u)12 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du12\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)12\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(12x)12\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(12x)24\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(12x)24\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

        Por lo tanto, el resultado es: −x16−sin⁡(12x)192- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(6x)8 dx=∫cos⁡(6x) dx8\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=6xu = 6 x.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫cos⁡(u)6 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(6x)6\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(6x)48\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      El resultado es: x16+sin⁡3(6x)144−sin⁡(12x)192\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(6x)2)(cos⁡(6x)2+12)2=−cos⁡3(6x)8−cos⁡2(6x)8+cos⁡(6x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡3(6x)8) dx=−∫cos⁡3(6x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(6x)=(1−sin⁡2(6x))cos⁡(6x)\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}

        2. que u=sin⁡(6x)u = \sin{\left(6 x \right)}.

          Luego que du=6cos⁡(6x)dxdu = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(16−u26) du\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫16 du=u6\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u26) du=−∫u2 du6\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u318- \frac{u^{3}}{18}

            El resultado es: −u318+u6- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(6x)18+sin⁡(6x)6- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(6x)144−sin⁡(6x)48\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(6x)8) dx=−∫cos⁡2(6x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(6x)=cos⁡(12x)2+12\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(12x)2 dx=∫cos⁡(12x) dx2\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=12xu = 12 x.

              Luego que du=12dxdu = 12 dx y ponemos du12\frac{du}{12}:

              ∫cos⁡(u)12 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du12\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)12\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(12x)12\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(12x)24\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(12x)24\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}

        Por lo tanto, el resultado es: −x16−sin⁡(12x)192- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(6x)8 dx=∫cos⁡(6x) dx8\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=6xu = 6 x.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫cos⁡(u)6 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du6\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)6\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(6x)6\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(6x)48\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      El resultado es: x16+sin⁡3(6x)144−sin⁡(12x)192\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x16+sin⁡3(6x)144−sin⁡(12x)192+constant\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x16+sin⁡3(6x)144−sin⁡(12x)192+constant\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                       
 |                                                  3     
 |    4         2               sin(12*x)   x    sin (6*x)
 | cos (3*x)*sin (3*x) dx = C - --------- + -- + ---------
 |                                 192      16      144   
/
∫sin⁡2(3x)cos⁡4(3x) dx=C+x16+sin⁡3(6x)144−sin⁡(12x)192\int \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos^{4}{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        5                                3          
1    cos (3)*sin(3)   cos(3)*sin(3)   cos (3)*sin(3)
-- - -------------- + ------------- + --------------
16         18               48              72
sin⁡(3)cos⁡(3)48+sin⁡(3)cos⁡3(3)72−sin⁡(3)cos⁡5(3)18+116\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{72} - \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{5}{\left(3 \right)}}{18} + \frac{1}{16} 
=
= 
        5                                3          
1    cos (3)*sin(3)   cos(3)*sin(3)   cos (3)*sin(3)
-- - -------------- + ------------- + --------------
16         18               48              72
sin⁡(3)cos⁡(3)48+sin⁡(3)cos⁡3(3)72−sin⁡(3)cos⁡5(3)18+116\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{72} - \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{5}{\left(3 \right)}}{18} + \frac{1}{16} 
1/16 - cos(3)^5*sin(3)/18 + cos(3)*sin(3)/48 + cos(3)^3*sin(3)/72
Respuesta numérica [src] 
0.0651431588648892
0.0651431588648892

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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