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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de x(x-1)(x-2)
Integral de 1/(x*e^x)
Integral de 1/(x^2-x+1)
Integral de 1/(x^2+6*x+10)
Expresiones idénticas
(cos3x)^ cuatro *(sin3x)^ dos
( coseno de 3x) en el grado 4 multiplicar por ( seno de 3x) al cuadrado
( coseno de 3x) en el grado cuatro multiplicar por ( seno de 3x) en el grado dos
(cos3x)4*(sin3x)2
cos3x4*sin3x2
(cos3x)⁴*(sin3x)²
(cos3x) en el grado 4*(sin3x) en el grado 2
(cos3x)^4(sin3x)^2
(cos3x)4(sin3x)2
cos3x4sin3x2
cos3x^4sin3x^2
(cos3x)^4*(sin3x)^2dx

Resolución de integrales/ cos3x/ sin3x/ (cos3x)^4*(sin3x)^2

Integral de (cos3x)^4*(sin3x)^2 dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                       
  /                       
 |                        
 |     4         2        
 |  cos (3*x)*sin (3*x) dx
 |                        
/                         
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos^{4}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Integral(cos(3*x)^4*sin(3*x)^2, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos^{4}{\left(3 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = 6 x$ .
  
  Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{48} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{48} + \frac{1}{48}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{48}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{48}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$
      
      que $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(u \right)}}{48}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{48}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{48}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{96} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{192}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{48}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{48}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{48}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{48}\, du = \frac{u}{48}$
    El resultado es: $\frac{u}{96} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{192} + \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{144}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{18}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 12 x$ .
      
      Luego que $du = 12 dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = 6 x$ .
      
      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = - \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(6 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(6 x \right)}\right) \cos{\left(6 x \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(6 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = 6 \cos{\left(6 x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u^{2}}{6}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{6}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{6}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{18}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{18} + \frac{u}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{18} + \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(6 x \right)} = \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(12 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(12 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 12 x$ .
      
      Luego que $du = 12 dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{12}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{12}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{12}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{12}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos{\left(6 x \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = 6 x$ .
      
      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{6}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{6}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{6}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{6}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(6 x \right)}}{48}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                       
 |                                                  3     
 |    4         2               sin(12*x)   x    sin (6*x)
 | cos (3*x)*sin (3*x) dx = C - --------- + -- + ---------
 |                                 192      16      144   
/

$$\int \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos^{4}{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(6 x \right)}}{144} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{192}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

        5                                3          
1    cos (3)*sin(3)   cos(3)*sin(3)   cos (3)*sin(3)
-- - -------------- + ------------- + --------------
16         18               48              72

$$\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{72} - \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{5}{\left(3 \right)}}{18} + \frac{1}{16}$$

        5                                3          
1    cos (3)*sin(3)   cos(3)*sin(3)   cos (3)*sin(3)
-- - -------------- + ------------- + --------------
16         18               48              72

$$\frac{\sin{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{3}{\left(3 \right)}}{72} - \frac{\sin{\left(3 \right)} \cos^{5}{\left(3 \right)}}{18} + \frac{1}{16}$$

1/16 - cos(3)^5*sin(3)/18 + cos(3)*sin(3)/48 + cos(3)^3*sin(3)/72

Respuesta numérica [src]

0.0651431588648892

0.0651431588648892

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de (cos3x)^4*(sin3x)^2 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3