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Resolución de integrales/ x^2-5/ (x-4)/ 1/((x-4)(x^2-5x+6))

Integral de 1/((x-4)(x^2-5x+6)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  5                          
  /                          
 |                           
 |            1              
 |  ---------------------- dx
 |          / 2          \   
 |  (x - 4)*\x  - 5*x + 6/   
 |                           
/                            
6
∫651(x−4)((x2−5x)+6) dx\int\limits_{6}^{5} \frac{1}{\left(x - 4\right) \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)}\, dx 
Integral(1/((x - 4)*(x^2 - 5*x + 6)), (x, 6, 5))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x−4)((x2−5x)+6)=12(x−2)−1x−3+12(x−4)\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)} = \frac{1}{2 \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{2 \left(x - 4\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(x−2) dx=∫1x−2 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{2}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x−3) dx=−∫1x−3 dx\int \left(- \frac{1}{x - 3}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 3}\, dx

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−3)- \log{\left(x - 3 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(x−4) dx=∫1x−4 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 4}\, dx}{2}

        1. que u=x−4u = x - 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−4)2\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{2}

      El resultado es: log⁡(x−4)2−log⁡(x−3)+log⁡(x−2)2\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{2} - \log{\left(x - 3 \right)} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x−4)((x2−5x)+6)=1x3−9x2+26x−24\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)} = \frac{1}{x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x3−9x2+26x−24=12(x−2)−1x−3+12(x−4)\frac{1}{x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24} = \frac{1}{2 \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{2 \left(x - 4\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(x−2) dx=∫1x−2 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{2}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x−3) dx=−∫1x−3 dx\int \left(- \frac{1}{x - 3}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 3}\, dx

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−3)- \log{\left(x - 3 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(x−4) dx=∫1x−4 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 4}\, dx}{2}

        1. que u=x−4u = x - 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−4)2\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{2}

      El resultado es: log⁡(x−4)2−log⁡(x−3)+log⁡(x−2)2\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{2} - \log{\left(x - 3 \right)} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x−4)((x2−5x)+6)=1x3−9x2+26x−24\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)} = \frac{1}{x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x3−9x2+26x−24=12(x−2)−1x−3+12(x−4)\frac{1}{x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24} = \frac{1}{2 \left(x - 2\right)} - \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{2 \left(x - 4\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(x−2) dx=∫1x−2 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{2}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)2\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x−3) dx=−∫1x−3 dx\int \left(- \frac{1}{x - 3}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 3}\, dx

        1. que u=x−3u = x - 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−3)\log{\left(x - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−3)- \log{\left(x - 3 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12(x−4) dx=∫1x−4 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 4}\, dx}{2}

        1. que u=x−4u = x - 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−4)2\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{2}

      El resultado es: log⁡(x−4)2−log⁡(x−3)+log⁡(x−2)2\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{2} - \log{\left(x - 3 \right)} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x−4)2−log⁡(x−3)+log⁡(x−2)2+constant\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{2} - \log{\left(x - 3 \right)} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x−4)2−log⁡(x−3)+log⁡(x−2)2+constant\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{2} - \log{\left(x - 3 \right)} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                       
 |                                                                        
 |           1                     log(-4 + x)   log(-2 + x)              
 | ---------------------- dx = C + ----------- + ----------- - log(-3 + x)
 |         / 2          \               2             2                   
 | (x - 4)*\x  - 5*x + 6/                                                 
 |                                                                        
/
∫1(x−4)((x2−5x)+6) dx=C+log⁡(x−4)2−log⁡(x−3)+log⁡(x−2)2\int \frac{1}{\left(x - 4\right) \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{2} - \log{\left(x - 3 \right)} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
5.006.005.105.205.305.405.505.605.705.805.900.5-0.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
          log(8)   3*log(3)
-log(2) - ------ + --------
            2         2
−log⁡(8)2−log⁡(2)+3log⁡(3)2- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} - \log{\left(2 \right)} + \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{2} 
=
= 
          log(8)   3*log(3)
-log(2) - ------ + --------
            2         2
−log⁡(8)2−log⁡(2)+3log⁡(3)2- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} - \log{\left(2 \right)} + \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{2} 
-log(2) - log(8)/2 + 3*log(3)/2
Respuesta numérica [src] 
-0.0849495183976987
-0.0849495183976987

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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