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Resolución de integrales/ cos2x/ sin3x/ (sin3xcos2x)

Integral de (sin3xcos2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |  sin(3*x)*cos(2*x) dx
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/                       
0
∫01sin⁡(3x)cos⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(sin(3*x)*cos(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡(3x)cos⁡(2x)=−8sin⁡3(x)cos⁡2(x)+4sin⁡3(x)+6sin⁡(x)cos⁡2(x)−3sin⁡(x)\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = - 8 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−8sin⁡3(x)cos⁡2(x)) dx=−8∫sin⁡3(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 8 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡3(x)cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(u4−u2) du\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            El resultado es: u55−u33\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)=−sin⁡(x)cos⁡4(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(x)cos⁡4(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

                Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡5(x)5\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          El resultado es: cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)=−sin⁡(x)cos⁡4(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(x)cos⁡4(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

                Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡5(x)5\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          El resultado es: cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −8cos⁡5(x)5+8cos⁡3(x)3- \frac{8 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{8 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫4sin⁡3(x) dx=4∫sin⁡3(x) dx\int 4 \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡3(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}

      2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(u2−1) du\int \left(u^{2} - 1\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

          El resultado es: u33−u\frac{u^{3}}{3} - u

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡3(x)3−4cos⁡(x)\frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 4 \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫6sin⁡(x)cos⁡2(x) dx=6∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int 6 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡3(x)- 2 \cos^{3}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−3sin⁡(x)) dx=−3∫sin⁡(x) dx\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡(x)3 \cos{\left(x \right)}

    El resultado es: −8cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)−cos⁡(x)- \frac{8 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 2 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −8cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)−cos⁡(x)+constant- \frac{8 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 2 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−8cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)−cos⁡(x)+constant- \frac{8 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 2 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                     5   
 |                                          3      8*cos (x)
 | sin(3*x)*cos(2*x) dx = C - cos(x) + 2*cos (x) - ---------
 |                                                     5    
/
∫sin⁡(3x)cos⁡(2x) dx=C−8cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)−cos⁡(x)\int \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = C - \frac{8 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 2 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
3   3*cos(2)*cos(3)   2*sin(2)*sin(3)
- - --------------- - ---------------
5          5                 5
−3cos⁡(2)cos⁡(3)5−2sin⁡(2)sin⁡(3)5+35- \frac{3 \cos{\left(2 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{5} - \frac{2 \sin{\left(2 \right)} \sin{\left(3 \right)}}{5} + \frac{3}{5} 
=
= 
3   3*cos(2)*cos(3)   2*sin(2)*sin(3)
- - --------------- - ---------------
5          5                 5
−3cos⁡(2)cos⁡(3)5−2sin⁡(2)sin⁡(3)5+35- \frac{3 \cos{\left(2 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{5} - \frac{2 \sin{\left(2 \right)} \sin{\left(3 \right)}}{5} + \frac{3}{5} 
3/5 - 3*cos(2)*cos(3)/5 - 2*sin(2)*sin(3)/5
Respuesta numérica [src] 
0.301482628519607
0.301482628519607

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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