Integral de ((4-(2x)/3)^3)/6 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(- \frac{2 x}{3} + 4\right)^{3}}{6}\, dx = \frac{\int \left(- \frac{2 x}{3} + 4\right)^{3}\, dx}{6}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - \frac{2 x}{3} + 4$.

         Luego que $du = - \frac{2 dx}{3}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{3 u^{3}}{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = - \frac{3 \int u^{3}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{4}}{8}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3 \left(- \frac{2 x}{3} + 4\right)^{4}}{8}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(- \frac{2 x}{3} + 4\right)^{3} = - \frac{8 x^{3}}{27} + \frac{16 x^{2}}{3} - 32 x + 64$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{8 x^{3}}{27}\right)\, dx = - \frac{8 \int x^{3}\, dx}{27}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{4}}{27}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{16 x^{2}}{3}\, dx = \frac{16 \int x^{2}\, dx}{3}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{3}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 32 x\right)\, dx = - 32 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 16 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 64\, dx = 64 x$

         El resultado es: $- \frac{2 x^{4}}{27} + \frac{16 x^{3}}{9} - 16 x^{2} + 64 x$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(- \frac{2 x}{3} + 4\right)^{4}}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x - 6\right)^{4}}{81}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x - 6\right)^{4}}{81}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x - 6\right)^{4}}{81}+ \mathrm{constant}$