Integral de 2cos3x+e^(-5x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3}$

   1. que $u = - 5 x$.

      Luego que $du = - 5 dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{- 5 x}}{5}$

   El resultado es: $\frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{e^{- 5 x}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{e^{- 5 x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{e^{- 5 x}}{5}+ \mathrm{constant}$