Integral de shsqrt3*(t-x)*shsqrt3*x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(t u \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)} + u^{2} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}\, du = \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)} \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u t \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}\, du = t \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)} \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2} t \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{3} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}}{3} + \frac{u^{2} t \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{t x^{2} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}}{2} - \frac{x^{3} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(t - x\right) \sinh{\left(\sqrt{3} \right)} \sinh{\left(\sqrt{3} \right)} = t x \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)} - x^{2} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int t x \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}\, dx = t \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t x^{2} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}\right)\, dx = - \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)} \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{t x^{2} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}}{2} - \frac{x^{3} \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $x^{2} \left(\frac{t}{2} - \frac{x}{3}\right) \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} \left(\frac{t}{2} - \frac{x}{3}\right) \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} \left(\frac{t}{2} - \frac{x}{3}\right) \sinh^{2}{\left(\sqrt{3} \right)}+ \mathrm{constant}$