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Resolución de integrales/ x^2+9/ 9*x^2/ cos3x/ (9*x^2+9*x+11)*cos3xdx

Integral de (9*x^2+9*x+11)*cos3xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                              
  /                              
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 |  /   2           \            
 |  \9*x  + 9*x + 11/*cos(3*x) dx
 |                               
/                                
0
∫0π((9x2+9x)+11)cos⁡(3x) dx\int\limits_{0}^{\pi} \left(\left(9 x^{2} + 9 x\right) + 11\right) \cos{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral((9*x^2 + 9*x + 11)*cos(3*x), (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos dudu:

      ∫(u2cos⁡(u)3+ucos⁡(u)+11cos⁡(u)3) du\int \left(\frac{u^{2} \cos{\left(u \right)}}{3} + u \cos{\left(u \right)} + \frac{11 \cos{\left(u \right)}}{3}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2cos⁡(u)3 du=∫u2cos⁡(u) du3\int \frac{u^{2} \cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int u^{2} \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=sin⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}.

            Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2cos⁡(u)) du=−2∫cos⁡(u) du\int \left(- 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(u)- 2 \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: u2sin⁡(u)3+2ucos⁡(u)3−2sin⁡(u)3\frac{u^{2} \sin{\left(u \right)}}{3} + \frac{2 u \cos{\left(u \right)}}{3} - \frac{2 \sin{\left(u \right)}}{3}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫11cos⁡(u)3 du=11∫cos⁡(u) du3\int \frac{11 \cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{11 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 11sin⁡(u)3\frac{11 \sin{\left(u \right)}}{3}

        El resultado es: u2sin⁡(u)3+usin⁡(u)+2ucos⁡(u)3+3sin⁡(u)+cos⁡(u)\frac{u^{2} \sin{\left(u \right)}}{3} + u \sin{\left(u \right)} + \frac{2 u \cos{\left(u \right)}}{3} + 3 \sin{\left(u \right)} + \cos{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3x2sin⁡(3x)+3xsin⁡(3x)+2xcos⁡(3x)+3sin⁡(3x)+cos⁡(3x)3 x^{2} \sin{\left(3 x \right)} + 3 x \sin{\left(3 x \right)} + 2 x \cos{\left(3 x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((9x2+9x)+11)cos⁡(3x)=9x2cos⁡(3x)+9xcos⁡(3x)+11cos⁡(3x)\left(\left(9 x^{2} + 9 x\right) + 11\right) \cos{\left(3 x \right)} = 9 x^{2} \cos{\left(3 x \right)} + 9 x \cos{\left(3 x \right)} + 11 \cos{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9x2cos⁡(3x) dx=9∫x2cos⁡(3x) dx\int 9 x^{2} \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 9 \int x^{2} \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=2x3u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3} y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=23\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{3}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(3x)9) dx=−2∫cos⁡(3x) dx9\int \left(- \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{9}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(3x)27- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{27}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2sin⁡(3x)+2xcos⁡(3x)−2sin⁡(3x)33 x^{2} \sin{\left(3 x \right)} + 2 x \cos{\left(3 x \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9xcos⁡(3x) dx=9∫xcos⁡(3x) dx\int 9 x \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 9 \int x \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(3x)3 dx=∫sin⁡(3x) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x)9- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 3xsin⁡(3x)+cos⁡(3x)3 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫11cos⁡(3x) dx=11∫cos⁡(3x) dx\int 11 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 11 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin⁡(3x)3\frac{11 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

      El resultado es: 3x2sin⁡(3x)+3xsin⁡(3x)+2xcos⁡(3x)+3sin⁡(3x)+cos⁡(3x)3 x^{2} \sin{\left(3 x \right)} + 3 x \sin{\left(3 x \right)} + 2 x \cos{\left(3 x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=9x2+9x+11u{\left(x \right)} = 9 x^{2} + 9 x + 11 y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=18x+9\operatorname{du}{\left(x \right)} = 18 x + 9.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=6x+3u{\left(x \right)} = 6 x + 3 y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=6\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2cos⁡(3x)) dx=−2∫cos⁡(3x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(3x)3- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((9x2+9x)+11)cos⁡(3x)=9x2cos⁡(3x)+9xcos⁡(3x)+11cos⁡(3x)\left(\left(9 x^{2} + 9 x\right) + 11\right) \cos{\left(3 x \right)} = 9 x^{2} \cos{\left(3 x \right)} + 9 x \cos{\left(3 x \right)} + 11 \cos{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9x2cos⁡(3x) dx=9∫x2cos⁡(3x) dx\int 9 x^{2} \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 9 \int x^{2} \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=2x3u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3} y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=23\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{3}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(3x)9) dx=−2∫cos⁡(3x) dx9\int \left(- \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{9}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(3x)27- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{27}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2sin⁡(3x)+2xcos⁡(3x)−2sin⁡(3x)33 x^{2} \sin{\left(3 x \right)} + 2 x \cos{\left(3 x \right)} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9xcos⁡(3x) dx=9∫xcos⁡(3x) dx\int 9 x \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 9 \int x \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(3x)3 dx=∫sin⁡(3x) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x)9- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 3xsin⁡(3x)+cos⁡(3x)3 x \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫11cos⁡(3x) dx=11∫cos⁡(3x) dx\int 11 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 11 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin⁡(3x)3\frac{11 \sin{\left(3 x \right)}}{3}

      El resultado es: 3x2sin⁡(3x)+3xsin⁡(3x)+2xcos⁡(3x)+3sin⁡(3x)+cos⁡(3x)3 x^{2} \sin{\left(3 x \right)} + 3 x \sin{\left(3 x \right)} + 2 x \cos{\left(3 x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x2sin⁡(3x)+3xsin⁡(3x)+2xcos⁡(3x)+3sin⁡(3x)+cos⁡(3x)+constant3 x^{2} \sin{\left(3 x \right)} + 3 x \sin{\left(3 x \right)} + 2 x \cos{\left(3 x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x2sin⁡(3x)+3xsin⁡(3x)+2xcos⁡(3x)+3sin⁡(3x)+cos⁡(3x)+constant3 x^{2} \sin{\left(3 x \right)} + 3 x \sin{\left(3 x \right)} + 2 x \cos{\left(3 x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                       
 |                                                                                                        
 | /   2           \                                                                 2                    
 | \9*x  + 9*x + 11/*cos(3*x) dx = C + 3*sin(3*x) + 2*x*cos(3*x) + 3*x*sin(3*x) + 3*x *sin(3*x) + cos(3*x)
 |                                                                                                        
/
∫((9x2+9x)+11)cos⁡(3x) dx=C+3x2sin⁡(3x)+3xsin⁡(3x)+2xcos⁡(3x)+3sin⁡(3x)+cos⁡(3x)\int \left(\left(9 x^{2} + 9 x\right) + 11\right) \cos{\left(3 x \right)}\, dx = C + 3 x^{2} \sin{\left(3 x \right)} + 3 x \sin{\left(3 x \right)} + 2 x \cos{\left(3 x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.00-200200
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-2 - 2*pi
−2π−2- 2 \pi - 2 
=
= 
-2 - 2*pi
−2π−2- 2 \pi - 2 
-2 - 2*pi
Respuesta numérica [src] 
-8.28318530717957
-8.28318530717957

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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