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Resolución de integrales/ 16+x^2/ 1/(16+x^2)√‎16+x^2

Integral de 1/(16+x^2)√‎16+x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  4                  
  /                  
 |                   
 |  /   216      \   
 |  |  t        2|   
 |  |------- + x | dx
 |  |      2     |   
 |  \16 + x      /   
 |                   
/                    
0
∫04(t216x2+16+x2) dx\int\limits_{0}^{4} \left(\frac{t^{216}}{x^{2} + 16} + x^{2}\right)\, dx 
Integral(t^216/(16 + x^2) + x^2, (x, 0, 4))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫t216x2+16 dx=t216∫1x2+16 dx\int \frac{t^{216}}{x^{2} + 16}\, dx = t^{216} \int \frac{1}{x^{2} + 16}\, dx

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=16, context=1/(x**2 + 16), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=16, context=1/(x**2 + 16), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=16, context=1/(x**2 + 16), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 16), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: t216atan⁡(x4)4\frac{t^{216} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

    El resultado es: t216atan⁡(x4)4+x33\frac{t^{216} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \frac{x^{3}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    t216atan⁡(x4)4+x33+constant\frac{t^{216} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \frac{x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

t216atan⁡(x4)4+x33+constant\frac{t^{216} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \frac{x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                               216     /x\
 | /   216      \           3   t   *atan|-|
 | |  t        2|          x             \4/
 | |------- + x | dx = C + -- + ------------
 | |      2     |          3         4      
 | \16 + x      /                           
 |                                          
/
∫(t216x2+16+x2) dx=C+t216atan⁡(x4)4+x33\int \left(\frac{t^{216}}{x^{2} + 16} + x^{2}\right)\, dx = C + \frac{t^{216} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \frac{x^{3}}{3}
Simplificar
Respuesta [src] 
          /    /  pi*I      /    ___\\     /pi*I      /    ___\\\        /    /  pi*I         \     /pi*I         \\
          |  I*|- ---- + log\4*\/ 2 /|   I*|---- + log\4*\/ 2 /||        |  I*|- ---- + log(4)|   I*|---- + log(4)||
64    216 |    \   4                 /     \ 4                 /|    216 |    \   2           /     \ 2           /|
-- + t   *|- ------------------------- + -----------------------| - t   *|- ------------------- + -----------------|
3         \              8                          8           /        \           8                    8        /
−t216(−i(log⁡(4)−iπ2)8+i(log⁡(4)+iπ2)8)+t216(−i(log⁡(42)−iπ4)8+i(log⁡(42)+iπ4)8)+643- t^{216} \left(- \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \frac{i \pi}{2}\right)}{8} + \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} + \frac{i \pi}{2}\right)}{8}\right) + t^{216} \left(- \frac{i \left(\log{\left(4 \sqrt{2} \right)} - \frac{i \pi}{4}\right)}{8} + \frac{i \left(\log{\left(4 \sqrt{2} \right)} + \frac{i \pi}{4}\right)}{8}\right) + \frac{64}{3} 
=
= 
          /    /  pi*I      /    ___\\     /pi*I      /    ___\\\        /    /  pi*I         \     /pi*I         \\
          |  I*|- ---- + log\4*\/ 2 /|   I*|---- + log\4*\/ 2 /||        |  I*|- ---- + log(4)|   I*|---- + log(4)||
64    216 |    \   4                 /     \ 4                 /|    216 |    \   2           /     \ 2           /|
-- + t   *|- ------------------------- + -----------------------| - t   *|- ------------------- + -----------------|
3         \              8                          8           /        \           8                    8        /
−t216(−i(log⁡(4)−iπ2)8+i(log⁡(4)+iπ2)8)+t216(−i(log⁡(42)−iπ4)8+i(log⁡(42)+iπ4)8)+643- t^{216} \left(- \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \frac{i \pi}{2}\right)}{8} + \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} + \frac{i \pi}{2}\right)}{8}\right) + t^{216} \left(- \frac{i \left(\log{\left(4 \sqrt{2} \right)} - \frac{i \pi}{4}\right)}{8} + \frac{i \left(\log{\left(4 \sqrt{2} \right)} + \frac{i \pi}{4}\right)}{8}\right) + \frac{64}{3} 
64/3 + t^216*(-i*(-pi*i/4 + log(4*sqrt(2)))/8 + i*(pi*i/4 + log(4*sqrt(2)))/8) - t^216*(-i*(-pi*i/2 + log(4))/8 + i*(pi*i/2 + log(4))/8)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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