Sr Examen

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Resolución de integrales/ (3x-3)/ (3x+4)/ e^(3x-3)(3x+4)

Integral de e^(3x-3)(3x+4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |   3*x - 3             
 |  E       *(3*x + 4) dx
 |                       
/                        
0
∫01e3x−3(3x+4) dx\int\limits_{0}^{1} e^{3 x - 3} \left(3 x + 4\right)\, dx 
Integral(E^(3*x - 3)*(3*x + 4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos dudu:

      ∫(ueu3e3+4eu3e3) du\int \left(\frac{u e^{u}}{3 e^{3}} + \frac{4 e^{u}}{3 e^{3}}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ueu3e3 du=∫ueu du3e3\int \frac{u e^{u}}{3 e^{3}}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{3 e^{3}}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: ueu−eu3e3\frac{u e^{u} - e^{u}}{3 e^{3}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4eu3e3 du=4∫eu du3e3\int \frac{4 e^{u}}{3 e^{3}}\, du = \frac{4 \int e^{u}\, du}{3 e^{3}}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 4eu3e3\frac{4 e^{u}}{3 e^{3}}

        El resultado es: ueu−eu3e3+4eu3e3\frac{u e^{u} - e^{u}}{3 e^{3}} + \frac{4 e^{u}}{3 e^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3xe3x−e3x3e3+4e3x3e3\frac{3 x e^{3 x} - e^{3 x}}{3 e^{3}} + \frac{4 e^{3 x}}{3 e^{3}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e3x−3(3x+4)=3xe3xe3+4e3xe3e^{3 x - 3} \left(3 x + 4\right) = \frac{3 x e^{3 x}}{e^{3}} + \frac{4 e^{3 x}}{e^{3}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe3xe3 dx=3∫xe3x dxe3\int \frac{3 x e^{3 x}}{e^{3}}\, dx = \frac{3 \int x e^{3 x}\, dx}{e^{3}}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e3x3 dx=∫e3x dx3\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: e3x9\frac{e^{3 x}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(xe3x3−e3x9)e3\frac{3 \left(\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}\right)}{e^{3}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4e3xe3 dx=4∫e3x dxe3\int \frac{4 e^{3 x}}{e^{3}}\, dx = \frac{4 \int e^{3 x}\, dx}{e^{3}}

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 4e3x3e3\frac{4 e^{3 x}}{3 e^{3}}

      El resultado es: 3(xe3x3−e3x9)e3+4e3x3e3\frac{3 \left(\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}\right)}{e^{3}} + \frac{4 e^{3 x}}{3 e^{3}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e3x−3(3x+4)=3xe3xe3+4e3xe3e^{3 x - 3} \left(3 x + 4\right) = \frac{3 x e^{3 x}}{e^{3}} + \frac{4 e^{3 x}}{e^{3}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe3xe3 dx=3∫xe3x dxe3\int \frac{3 x e^{3 x}}{e^{3}}\, dx = \frac{3 \int x e^{3 x}\, dx}{e^{3}}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e3x3 dx=∫e3x dx3\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: e3x9\frac{e^{3 x}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(xe3x3−e3x9)e3\frac{3 \left(\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}\right)}{e^{3}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4e3xe3 dx=4∫e3x dxe3\int \frac{4 e^{3 x}}{e^{3}}\, dx = \frac{4 \int e^{3 x}\, dx}{e^{3}}

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 4e3x3e3\frac{4 e^{3 x}}{3 e^{3}}

      El resultado es: 3(xe3x3−e3x9)e3+4e3x3e3\frac{3 \left(\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}\right)}{e^{3}} + \frac{4 e^{3 x}}{3 e^{3}}

  2. Ahora simplificar:

    (x+1)e3x−3\left(x + 1\right) e^{3 x - 3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x+1)e3x−3+constant\left(x + 1\right) e^{3 x - 3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x+1)e3x−3+constant\left(x + 1\right) e^{3 x - 3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                             /   3*x        3*x\  -3      -3  3*x
 |  3*x - 3                    \- e    + 3*x*e   /*e     4*e  *e   
 | E       *(3*x + 4) dx = C + ----------------------- + ----------
 |                                        3                  3     
/
∫e3x−3(3x+4) dx=C+3xe3x−e3x3e3+4e3x3e3\int e^{3 x - 3} \left(3 x + 4\right)\, dx = C + \frac{3 x e^{3 x} - e^{3 x}}{3 e^{3}} + \frac{4 e^{3 x}}{3 e^{3}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     -3
2 - e
2−e−32 - e^{-3} 
=
= 
     -3
2 - e
2−e−32 - e^{-3} 
2 - exp(-3)
Respuesta numérica [src] 
1.95021293163214
1.95021293163214

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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