Integral de ln(x)/x^(1/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{\frac{3 u}{4}}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{3 u}{4}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = \frac{3 u}{4}$.

            Luego que $du = \frac{3 du}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{3}$:

            $\int \frac{4 e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{4 e^{\frac{3 u}{4}}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 e^{\frac{3 u}{4}}}{3}\, du = \frac{4 \int e^{\frac{3 u}{4}}\, du}{3}$

         1. que $u = \frac{3 u}{4}$.

            Luego que $du = \frac{3 du}{4}$ y ponemos $\frac{4 du}{3}$:

            $\int \frac{4 e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{4 e^{\frac{3 u}{4}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 e^{\frac{3 u}{4}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 x^{\frac{3}{4}} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{16 x^{\frac{3}{4}}}{9}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4}{3 \sqrt[4]{x}}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\, dx}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{3}{4}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{\frac{3}{4}}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 x^{\frac{3}{4}} \left(3 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x^{\frac{3}{4}} \left(3 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{\frac{3}{4}} \left(3 \log{\left(x \right)} - 4\right)}{9}+ \mathrm{constant}$