Integral de (x^(3/2)-3x^(1/5))x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[5]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(5 u^{\frac{33}{2}} - 15 u^{10}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 u^{\frac{33}{2}}\, du = 5 \int u^{\frac{33}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{33}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{35}{2}}}{35}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{35}{2}}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 15 u^{10}\right)\, du = - 15 \int u^{10}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15 u^{11}}{11}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{\frac{35}{2}}}{7} - \frac{15 u^{11}}{11}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{15 x^{\frac{11}{5}}}{11} + \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(- 3 \sqrt[5]{x} + x^{\frac{3}{2}}\right) = - 3 x^{\frac{6}{5}} + x^{\frac{5}{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{\frac{6}{5}}\right)\, dx = - 3 \int x^{\frac{6}{5}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{6}{5}}\, dx = \frac{5 x^{\frac{11}{5}}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15 x^{\frac{11}{5}}}{11}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      El resultado es: $- \frac{15 x^{\frac{11}{5}}}{11} + \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{15 x^{\frac{11}{5}}}{11} + \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{15 x^{\frac{11}{5}}}{11} + \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}+ \mathrm{constant}$