Integral de 1/8sin^2x-16sinxcosx dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{8}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{32}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 16 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int 16 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Método #2

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \cos^{2}{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $8 \cos^{2}{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{32} + 8 \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{32} + 8 \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{32} + 8 \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$