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Resolución de integrales/ e^(x/4)/ sin2x/ e^(x/4)+sin2x

Integral de e^(x/4)+sin2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |  / x           \   
 |  | -           |   
 |  | 4           |   
 |  \E  + sin(2*x)/ dx
 |                    
/                     
0
∫01(ex4+sin⁡(2x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(e^{\frac{x}{4}} + \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(E^(x/4) + sin(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

      Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

      ∫4eu du\int 4 e^{u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        False\text{False}

        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        Por lo tanto, el resultado es: 4eu4 e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4ex44 e^{\frac{x}{4}}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      Método #2

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Método #2

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u du\int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

    El resultado es: 4ex4−cos⁡(2x)24 e^{\frac{x}{4}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    4ex4−cos⁡(2x)24 e^{\frac{x}{4}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    4ex4−cos⁡(2x)2+constant4 e^{\frac{x}{4}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4ex4−cos⁡(2x)2+constant4 e^{\frac{x}{4}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        
 |                                         
 | / x           \             x           
 | | -           |             -           
 | | 4           |             4   cos(2*x)
 | \E  + sin(2*x)/ dx = C + 4*e  - --------
 |                                    2    
/
∫(ex4+sin⁡(2x)) dx=C+4ex4−cos⁡(2x)2\int \left(e^{\frac{x}{4}} + \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C + 4 e^{\frac{x}{4}} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  7      1/4   cos(2)
- - + 4*e    - ------
  2              2
−72−cos⁡(2)2+4e14- \frac{7}{2} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + 4 e^{\frac{1}{4}} 
=
= 
  7      1/4   cos(2)
- - + 4*e    - ------
  2              2
−72−cos⁡(2)2+4e14- \frac{7}{2} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + 4 e^{\frac{1}{4}} 
-7/2 + 4*exp(1/4) - cos(2)/2
Respuesta numérica [src] 
1.84417508502454
1.84417508502454

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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