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Resolución de integrales/ (x+1)/ 1/(x(x+1)^2)

Integral de 1/(x(x+1)^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |      1        
 |  ---------- dx
 |           2   
 |  x*(x + 1)    
 |               
/                
0
∫011x(x+1)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x \left(x + 1\right)^{2}}\, dx 
Integral(1/(x*(x + 1)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x(x+1)2=−1x+1−1(x+1)2+1x\frac{1}{x \left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx\int \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+1- \frac{1}{x + 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 1x+1\frac{1}{x + 1}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x(x+1)2=1x3+2x2+x\frac{1}{x \left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{3} + 2 x^{2} + x}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x3+2x2+x=−1x+1−1(x+1)2+1x\frac{1}{x^{3} + 2 x^{2} + x} = - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx\int \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+1- \frac{1}{x + 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 1x+1\frac{1}{x + 1}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x(x+1)2=1x3+2x2+x\frac{1}{x \left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{3} + 2 x^{2} + x}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x3+2x2+x=−1x+1−1(x+1)2+1x\frac{1}{x^{3} + 2 x^{2} + x} = - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx\int \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+1- \frac{1}{x + 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 1x+1\frac{1}{x + 1}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1}

  2. Ahora simplificar:

    (x+1)(log⁡(x)−log⁡(x+1))+1x+1\frac{\left(x + 1\right) \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}\right) + 1}{x + 1}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x+1)(log⁡(x)−log⁡(x+1))+1x+1+constant\frac{\left(x + 1\right) \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}\right) + 1}{x + 1}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x+1)(log⁡(x)−log⁡(x+1))+1x+1+constant\frac{\left(x + 1\right) \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}\right) + 1}{x + 1}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                                                
 |     1                 1                        
 | ---------- dx = C + ----- - log(1 + x) + log(x)
 |          2          1 + x                      
 | x*(x + 1)                                      
 |                                                
/
∫1x(x+1)2 dx=C+log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1\int \frac{1}{x \left(x + 1\right)^{2}}\, dx = C + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
42.8972989534329
42.8972989534329

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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