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Resolución de integrales/ e^(3*x)/ (3*x+2)*e^(3*x)

Integral de (3*x+2)*e^(3*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |             3*x   
 |  (3*x + 2)*E    dx
 |                   
/                    
0
∫01e3x(3x+2) dx\int\limits_{0}^{1} e^{3 x} \left(3 x + 2\right)\, dx 
Integral((3*x + 2)*E^(3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos dudu:

      ∫(ueu3+2eu3) du\int \left(\frac{u e^{u}}{3} + \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ueu3 du=∫ueu du3\int \frac{u e^{u}}{3}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{3}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: ueu3−eu3\frac{u e^{u}}{3} - \frac{e^{u}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2eu3 du=2∫eu du3\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du = \frac{2 \int e^{u}\, du}{3}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 2eu3\frac{2 e^{u}}{3}

        El resultado es: ueu3+eu3\frac{u e^{u}}{3} + \frac{e^{u}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xe3x+e3x3x e^{3 x} + \frac{e^{3 x}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e3x(3x+2)=3xe3x+2e3xe^{3 x} \left(3 x + 2\right) = 3 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe3x dx=3∫xe3x dx\int 3 x e^{3 x}\, dx = 3 \int x e^{3 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e3x3 dx=∫e3x dx3\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: e3x9\frac{e^{3 x}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: xe3x−e3x3x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2e3x dx=2∫e3x dx\int 2 e^{3 x}\, dx = 2 \int e^{3 x}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2e3x3\frac{2 e^{3 x}}{3}

      El resultado es: xe3x+e3x3x e^{3 x} + \frac{e^{3 x}}{3}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e3x(3x+2)=3xe3x+2e3xe^{3 x} \left(3 x + 2\right) = 3 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe3x dx=3∫xe3x dx\int 3 x e^{3 x}\, dx = 3 \int x e^{3 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e3x3 dx=∫e3x dx3\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: e3x9\frac{e^{3 x}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: xe3x−e3x3x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2e3x dx=2∫e3x dx\int 2 e^{3 x}\, dx = 2 \int e^{3 x}\, dx

        1. que u=3xu = 3 x.

          Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e3x3\frac{e^{3 x}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2e3x3\frac{2 e^{3 x}}{3}

      El resultado es: xe3x+e3x3x e^{3 x} + \frac{e^{3 x}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    (x+13)e3x\left(x + \frac{1}{3}\right) e^{3 x}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x+13)e3x+constant\left(x + \frac{1}{3}\right) e^{3 x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x+13)e3x+constant\left(x + \frac{1}{3}\right) e^{3 x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                     
 |                          3*x         
 |            3*x          e         3*x
 | (3*x + 2)*E    dx = C + ---- + x*e   
 |                          3           
/
∫e3x(3x+2) dx=C+xe3x+e3x3\int e^{3 x} \left(3 x + 2\right)\, dx = C + x e^{3 x} + \frac{e^{3 x}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900200
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         3
  1   4*e 
- - + ----
  3    3
−13+4e33- \frac{1}{3} + \frac{4 e^{3}}{3} 
=
= 
         3
  1   4*e 
- - + ----
  3    3
−13+4e33- \frac{1}{3} + \frac{4 e^{3}}{3} 
-1/3 + 4*exp(3)/3
Respuesta numérica [src] 
26.4473825642502
26.4473825642502

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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