Integral de sin^10(x)*cos^3(x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin^{10}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- u^{12} + u^{10}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{12}\right)\, du = - \int u^{12}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{13}}{13}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         El resultado es: $- \frac{u^{13}}{13} + \frac{u^{11}}{11}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{12}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{10}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

      El resultado es: $- \frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{12}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{10}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

      El resultado es: $- \frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}+ \mathrm{constant}$