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Resolución de integrales/ x^2+8/ (7x+1)/(x^2+8x+20)

Integral de (7x+1)/(x^2+8x+20) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |     7*x + 1      
 |  ------------- dx
 |   2              
 |  x  + 8*x + 20   
 |                  
/                   
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{7 x + 1}{\left(x^{2} + 8 x\right) + 20}\, dx$$ 
Integral((7*x + 1)/(x^2 + 8*x + 20), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /                
 |                 
 |    7*x + 1      
 | ------------- dx
 |  2              
 | x  + 8*x + 20   
 |                 
/
Reescribimos la función subintegral
                     2*x + 8                    
                7*-------------       /-27 \    
                   2                  |----|    
   7*x + 1        x  + 8*x + 20       \ 4  /    
------------- = --------------- + --------------
 2                     2                   2    
x  + 8*x + 20                     /  x    \     
                                  |- - - 2|  + 1
                                  \  2    /
o
  /                  
 |                   
 |    7*x + 1        
 | ------------- dx  
 |  2               =
 | x  + 8*x + 20     
 |                   
/                    
  
       /                                         
      |                                          
      |       1                 /                
  27* | -------------- dx      |                 
      |          2             |    2*x + 8      
      | /  x    \           7* | ------------- dx
      | |- - - 2|  + 1         |  2              
      | \  2    /              | x  + 8*x + 20   
      |                        |                 
     /                        /                  
- ----------------------- + ---------------------
             4                        2
En integral
    /                
   |                 
   |    2*x + 8      
7* | ------------- dx
   |  2              
   | x  + 8*x + 20   
   |                 
  /                  
---------------------
          2
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 8*x
entonces
integral =
    /                         
   |                          
   |   1                      
7* | ------ du                
   | 20 + u                   
   |                          
  /              7*log(20 + u)
-------------- = -------------
      2                2
hacemos cambio inverso
    /                                       
   |                                        
   |    2*x + 8                             
7* | ------------- dx                       
   |  2                                     
   | x  + 8*x + 20                          
   |                         /      2      \
  /                     7*log\20 + x  + 8*x/
--------------------- = --------------------
          2                      2
En integral
      /                 
     |                  
     |       1          
-27* | -------------- dx
     |          2       
     | /  x    \        
     | |- - - 2|  + 1   
     | \  2    /        
     |                  
    /                   
------------------------
           4
hacemos el cambio
         x
v = -2 - -
         2
entonces
integral =
      /                       
     |                        
     |   1                    
-27* | ------ dv              
     |      2                 
     | 1 + v                  
     |                        
    /              -27*atan(v)
---------------- = -----------
       4                4
hacemos cambio inverso
      /                                   
     |                                    
     |       1                            
-27* | -------------- dx                  
     |          2                         
     | /  x    \                          
     | |- - - 2|  + 1                     
     | \  2    /                   /    x\
     |                     -27*atan|2 + -|
    /                              \    2/
------------------------ = ---------------
           4                      2
La solución:
           /    x\                       
    27*atan|2 + -|        /      2      \
           \    2/   7*log\20 + x  + 8*x/
C - -------------- + --------------------
          2                   2
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              /    x\                       
 |                        27*atan|2 + -|        /      2      \
 |    7*x + 1                    \    2/   7*log\20 + x  + 8*x/
 | ------------- dx = C - -------------- + --------------------
 |  2                           2                   2          
 | x  + 8*x + 20                                               
 |                                                             
/
$$\int \frac{7 x + 1}{\left(x^{2} + 8 x\right) + 20}\, dx = C + \frac{7 \log{\left(x^{2} + 8 x + 20 \right)}}{2} - \frac{27 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + 2 \right)}}{2}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  27*atan(5/2)   7*log(20)   7*log(29)   27*atan(2)
- ------------ - --------- + --------- + ----------
       2             2           2           2
$$- \frac{27 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{2} \right)}}{2} - \frac{7 \log{\left(20 \right)}}{2} + \frac{7 \log{\left(29 \right)}}{2} + \frac{27 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2}$$ 
=
= 
  27*atan(5/2)   7*log(20)   7*log(29)   27*atan(2)
- ------------ - --------- + --------- + ----------
       2             2           2           2
$$- \frac{27 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{2} \right)}}{2} - \frac{7 \log{\left(20 \right)}}{2} + \frac{7 \log{\left(29 \right)}}{2} + \frac{27 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2}$$ 
-27*atan(5/2)/2 - 7*log(20)/2 + 7*log(29)/2 + 27*atan(2)/2
Respuesta numérica [src] 
0.178065817019734
0.178065817019734

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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