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Resolución de integrales/ sin(7*x)*sin(4*x)

Integral de sin(7*x)*sin(4*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
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 |  sin(7*x)*sin(4*x) dx
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0
∫01sin⁡(4x)sin⁡(7x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(4 x \right)} \sin{\left(7 x \right)}\, dx 
Integral(sin(7*x)*sin(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡(4x)sin⁡(7x)=512sin⁡10(x)cos⁡(x)−1152sin⁡8(x)cos⁡(x)+896sin⁡6(x)cos⁡(x)−280sin⁡4(x)cos⁡(x)+28sin⁡2(x)cos⁡(x)\sin{\left(4 x \right)} \sin{\left(7 x \right)} = 512 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 1152 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 896 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 280 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 28 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫512sin⁡10(x)cos⁡(x) dx=512∫sin⁡10(x)cos⁡(x) dx\int 512 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 512 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u10 du\int u^{10}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡11(x)11\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}

      Por lo tanto, el resultado es: 512sin⁡11(x)11\frac{512 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−1152sin⁡8(x)cos⁡(x)) dx=−1152∫sin⁡8(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 1152 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 1152 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u8 du\int u^{8}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

      Por lo tanto, el resultado es: −128sin⁡9(x)- 128 \sin^{9}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫896sin⁡6(x)cos⁡(x) dx=896∫sin⁡6(x)cos⁡(x) dx\int 896 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 896 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u6 du\int u^{6}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      Por lo tanto, el resultado es: 128sin⁡7(x)128 \sin^{7}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−280sin⁡4(x)cos⁡(x)) dx=−280∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 280 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 280 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −56sin⁡5(x)- 56 \sin^{5}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫28sin⁡2(x)cos⁡(x) dx=28∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int 28 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 28 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u2 du\int u^{2}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 28sin⁡3(x)3\frac{28 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

    El resultado es: 512sin⁡11(x)11−128sin⁡9(x)+128sin⁡7(x)−56sin⁡5(x)+28sin⁡3(x)3\frac{512 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} - 128 \sin^{9}{\left(x \right)} + 128 \sin^{7}{\left(x \right)} - 56 \sin^{5}{\left(x \right)} + \frac{28 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

  3. Ahora simplificar:

    4(384sin⁡8(x)−1056sin⁡6(x)+1056sin⁡4(x)−462sin⁡2(x)+77)sin⁡3(x)33\frac{4 \left(384 \sin^{8}{\left(x \right)} - 1056 \sin^{6}{\left(x \right)} + 1056 \sin^{4}{\left(x \right)} - 462 \sin^{2}{\left(x \right)} + 77\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{33}

  4. Añadimos la constante de integración:

    4(384sin⁡8(x)−1056sin⁡6(x)+1056sin⁡4(x)−462sin⁡2(x)+77)sin⁡3(x)33+constant\frac{4 \left(384 \sin^{8}{\left(x \right)} - 1056 \sin^{6}{\left(x \right)} + 1056 \sin^{4}{\left(x \right)} - 462 \sin^{2}{\left(x \right)} + 77\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{33}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4(384sin⁡8(x)−1056sin⁡6(x)+1056sin⁡4(x)−462sin⁡2(x)+77)sin⁡3(x)33+constant\frac{4 \left(384 \sin^{8}{\left(x \right)} - 1056 \sin^{6}{\left(x \right)} + 1056 \sin^{4}{\left(x \right)} - 462 \sin^{2}{\left(x \right)} + 77\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{33}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                          3             11   
 |                                   9            5             7      28*sin (x)   512*sin  (x)
 | sin(7*x)*sin(4*x) dx = C - 128*sin (x) - 56*sin (x) + 128*sin (x) + ---------- + ------------
 |                                                                         3             11     
/
∫sin⁡(4x)sin⁡(7x) dx=C+512sin⁡11(x)11−128sin⁡9(x)+128sin⁡7(x)−56sin⁡5(x)+28sin⁡3(x)3\int \sin{\left(4 x \right)} \sin{\left(7 x \right)}\, dx = C + \frac{512 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} - 128 \sin^{9}{\left(x \right)} + 128 \sin^{7}{\left(x \right)} - 56 \sin^{5}{\left(x \right)} + \frac{28 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  7*cos(7)*sin(4)   4*cos(4)*sin(7)
- --------------- + ---------------
         33                33
4sin⁡(7)cos⁡(4)33−7sin⁡(4)cos⁡(7)33\frac{4 \sin{\left(7 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{33} - \frac{7 \sin{\left(4 \right)} \cos{\left(7 \right)}}{33} 
=
= 
  7*cos(7)*sin(4)   4*cos(4)*sin(7)
- --------------- + ---------------
         33                33
4sin⁡(7)cos⁡(4)33−7sin⁡(4)cos⁡(7)33\frac{4 \sin{\left(7 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{33} - \frac{7 \sin{\left(4 \right)} \cos{\left(7 \right)}}{33} 
-7*cos(7)*sin(4)/33 + 4*cos(4)*sin(7)/33
Respuesta numérica [src] 
0.0689741016410705
0.0689741016410705

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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