Integral de xdx/(x-1)^9 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(x - 1\right)^{9}} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{8}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{9}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = x - 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{8}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{7 \left(x - 1\right)^{7}}$

      1. que $u = x - 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{9}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{9}}\, du = - \frac{1}{8 u^{8}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{8 \left(x - 1\right)^{8}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{7 \left(x - 1\right)^{7}} - \frac{1}{8 \left(x - 1\right)^{8}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(x - 1\right)^{9}} = \frac{x}{x^{9} - 9 x^{8} + 36 x^{7} - 84 x^{6} + 126 x^{5} - 126 x^{4} + 84 x^{3} - 36 x^{2} + 9 x - 1}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{x^{9} - 9 x^{8} + 36 x^{7} - 84 x^{6} + 126 x^{5} - 126 x^{4} + 84 x^{3} - 36 x^{2} + 9 x - 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{8}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{9}}$

   3. Integramos término a término:

      1. que $u = x - 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{8}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{7 \left(x - 1\right)^{7}}$

      1. que $u = x - 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{9}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{9}}\, du = - \frac{1}{8 u^{8}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{8 \left(x - 1\right)^{8}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{7 \left(x - 1\right)^{7}} - \frac{1}{8 \left(x - 1\right)^{8}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(x - 1\right)^{9}} = \frac{x}{x^{9} - 9 x^{8} + 36 x^{7} - 84 x^{6} + 126 x^{5} - 126 x^{4} + 84 x^{3} - 36 x^{2} + 9 x - 1}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{x^{9} - 9 x^{8} + 36 x^{7} - 84 x^{6} + 126 x^{5} - 126 x^{4} + 84 x^{3} - 36 x^{2} + 9 x - 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{8}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{9}}$

   3. Integramos término a término:

      1. que $u = x - 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{8}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{7 \left(x - 1\right)^{7}}$

      1. que $u = x - 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{9}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{9}}\, du = - \frac{1}{8 u^{8}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{8 \left(x - 1\right)^{8}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{7 \left(x - 1\right)^{7}} - \frac{1}{8 \left(x - 1\right)^{8}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{1 - 8 x}{56 \left(x - 1\right)^{8}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1 - 8 x}{56 \left(x - 1\right)^{8}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1 - 8 x}{56 \left(x - 1\right)^{8}}+ \mathrm{constant}$