Integral de 8^(-x-y)(ln(8))^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 8^{- x - y} \log{\left(8 \right)}^{2}\, dx = \log{\left(8 \right)}^{2} \int 8^{- x - y}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x - y$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- 8^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8^{u}\, du = - \int 8^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 8^{u}\, du = \frac{8^{u}}{\log{\left(8 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8^{u}}{\log{\left(8 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{8^{- x - y}}{\log{\left(8 \right)}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $8^{- x - y} = 8^{- x} 8^{- y}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8^{- x} 8^{- y}\, dx = 8^{- y} \int 8^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- 8^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 8^{u}\, du = - \int 8^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 8^{u}\, du = \frac{8^{u}}{\log{\left(8 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8^{u}}{\log{\left(8 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{8^{- x}}{\log{\left(8 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8^{- x} 8^{- y}}{\log{\left(8 \right)}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $8^{- x - y} = 8^{- x} 8^{- y}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8^{- x} 8^{- y}\, dx = 8^{- y} \int 8^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- 8^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 8^{u}\, du = - \int 8^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 8^{u}\, du = \frac{8^{u}}{\log{\left(8 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8^{u}}{\log{\left(8 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{8^{- x}}{\log{\left(8 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8^{- x} 8^{- y}}{\log{\left(8 \right)}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 8^{- x - y} \log{\left(8 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- 2^{- 3 x - 3 y} \log{\left(8 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 2^{- 3 x - 3 y} \log{\left(8 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2^{- 3 x - 3 y} \log{\left(8 \right)}+ \mathrm{constant}$