Integral de (ln^3x+1)*(1/x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{3} + 1\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{4} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{3} + 1}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$