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Resolución de integrales/ sin2x/ sin^2/ sin2x/(1+sin^2x)

Integral de sin2x/(1+sin^2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |    sin(2*x)    
 |  ----------- dx
 |         2      
 |  1 + sin (x)   
 |                
/                 
0
∫01sin⁡(2x)sin⁡2(x)+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx 
Integral(sin(2*x)/(1 + sin(x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. que u=sin⁡2(x)+1u = \sin^{2}{\left(x \right)} + 1.

        Luego que du=2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sin⁡2(x)+1)2\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(sin⁡2(x)+1)\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)sin⁡2(x)+1=2sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. que u=sin⁡2(x)+1u = \sin^{2}{\left(x \right)} + 1.

        Luego que du=2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sin⁡2(x)+1)2\frac{\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(sin⁡2(x)+1)\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(sin⁡2(x)+1)+constant\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(sin⁡2(x)+1)+constant\log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                     
 |                                      
 |   sin(2*x)              /       2   \
 | ----------- dx = C + log\1 + sin (x)/
 |        2                             
 | 1 + sin (x)                          
 |                                      
/
∫sin⁡(2x)sin⁡2(x)+1 dx=C+log⁡(sin⁡2(x)+1)\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx = C + \log{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   /       2   \
log\1 + sin (1)/
log⁡(sin⁡2(1)+1)\log{\left(\sin^{2}{\left(1 \right)} + 1 \right)} 
=
= 
   /       2   \
log\1 + sin (1)/
log⁡(sin⁡2(1)+1)\log{\left(\sin^{2}{\left(1 \right)} + 1 \right)} 
log(1 + sin(1)^2)
Respuesta numérica [src] 
0.53536607938024
0.53536607938024

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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