Sr Examen

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Integral de (x+4)/(x^2+2*x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |     x + 4       
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 2*x + 5   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 4}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((x + 4)/(x^2 + 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |    x + 4       
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 5   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
               /  2*x + 2   \                 
               |------------|        /3\      
               | 2          |        |-|      
   x + 4       \x  + 2*x + 5/        \4/      
------------ = -------------- + --------------
 2                   2                   2    
x  + 2*x + 5                    /  x   1\     
                                |- - - -|  + 1
                                \  2   2/     
o
  /                 
 |                  
 |    x + 4         
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 2*x + 5     
 |                  
/                   
  
                         /                 
                        |                  
  /                     |       1          
 |                   3* | -------------- dx
 |   2*x + 2            |          2       
 | ------------ dx      | /  x   1\        
 |  2                   | |- - - -|  + 1   
 | x  + 2*x + 5         | \  2   2/        
 |                      |                  
/                      /                   
------------------ + ----------------------
        2                      4           
En integral
  /               
 |                
 |   2*x + 2      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 5   
 |                
/                 
------------------
        2         
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 2*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 5 + u                
 |                      
/             log(5 + u)
----------- = ----------
     2            2     
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*x + 2                          
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  + 2*x + 5                       
 |                      /     2      \
/                    log\5 + x  + 2*x/
------------------ = -----------------
        2                    2        
En integral
    /                 
   |                  
   |       1          
3* | -------------- dx
   |          2       
   | /  x   1\        
   | |- - - -|  + 1   
   | \  2   2/        
   |                  
  /                   
----------------------
          4           
hacemos el cambio
      1   x
v = - - - -
      2   2
entonces
integral =
    /                     
   |                      
   |   1                  
3* | ------ dv            
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /              3*atan(v)
-------------- = ---------
      4              4    
hacemos cambio inverso
    /                                 
   |                                  
   |       1                          
3* | -------------- dx                
   |          2                       
   | /  x   1\                        
   | |- - - -|  + 1                   
   | \  2   2/                 /1   x\
   |                     3*atan|- + -|
  /                            \2   2/
---------------------- = -------------
          4                    2      
La solución:
                              /1   x\
       /     2      \   3*atan|- + -|
    log\5 + x  + 2*x/         \2   2/
C + ----------------- + -------------
            2                 2      
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                /1   x\
 |                          /     2      \   3*atan|- + -|
 |    x + 4              log\5 + x  + 2*x/         \2   2/
 | ------------ dx = C + ----------------- + -------------
 |  2                            2                 2      
 | x  + 2*x + 5                                           
 |                                                        
/                                                         
$$\int \frac{x + 4}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 5 \right)}}{2} + \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta [src]
log(8)   3*atan(1/2)   log(5)   3*pi
------ - ----------- - ------ + ----
  2           2          2       8  
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{8}$$
=
=
log(8)   3*atan(1/2)   log(5)   3*pi
------ - ----------- - ------ + ----
  2           2          2       8  
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{8}$$
log(8)/2 - 3*atan(1/2)/2 - log(5)/2 + 3*pi/8
Respuesta numérica [src]
0.717627646217831
0.717627646217831

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.