Integral de (4x+3)/(5x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + 3}{5 u - 4}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u + 3}{5 u - 4} = \frac{1}{5} + \frac{19}{5 \left(5 u - 4\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{5}\, du = \frac{u}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{19}{5 \left(5 u - 4\right)}\, du = \frac{19 \int \frac{1}{5 u - 4}\, du}{5}$

            1. que $u = 5 u - 4$.

               Luego que $du = 5 du$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{1}{5 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(5 u - 4 \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{19 \log{\left(5 u - 4 \right)}}{25}$

         El resultado es: $\frac{u}{5} + \frac{19 \log{\left(5 u - 4 \right)}}{25}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 x}{5} + \frac{19 \log{\left(20 x - 4 \right)}}{25}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x + 3}{5 x - 1} = \frac{4}{5} + \frac{19}{5 \left(5 x - 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{4}{5}\, dx = \frac{4 x}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{19}{5 \left(5 x - 1\right)}\, dx = \frac{19 \int \frac{1}{5 x - 1}\, dx}{5}$

         1. que $u = 5 x - 1$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{1}{5 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{19 \log{\left(5 x - 1 \right)}}{25}$

      El resultado es: $\frac{4 x}{5} + \frac{19 \log{\left(5 x - 1 \right)}}{25}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x + 3}{5 x - 1} = \frac{4 x}{5 x - 1} + \frac{3}{5 x - 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x}{5 x - 1}\, dx = 4 \int \frac{x}{5 x - 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{5 x - 1} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5 \left(5 x - 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{5}\, dx = \frac{x}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{5 \left(5 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{5 x - 1}\, dx}{5}$

               1. que $u = 5 x - 1$.

                  Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

                  $\int \frac{1}{5 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{25}$

            El resultado es: $\frac{x}{5} + \frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x}{5} + \frac{4 \log{\left(5 x - 1 \right)}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{5 x - 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{5 x - 1}\, dx$

         1. que $u = 5 x - 1$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{1}{5 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(5 x - 1 \right)}}{5}$

      El resultado es: $\frac{4 x}{5} + \frac{4 \log{\left(5 x - 1 \right)}}{25} + \frac{3 \log{\left(5 x - 1 \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x}{5} + \frac{19 \log{\left(20 x - 4 \right)}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x}{5} + \frac{19 \log{\left(20 x - 4 \right)}}{25}+ \mathrm{constant}$